I Espaces vectoriels

(1)

Alg` ebre : R´ esum´ e

I Espaces vectoriels

1 Généralités

Un espace vectoriel est un ensemble d’objets (appel´es vecteurs) que l’on sait additionner et multiplier par un r´eel.

Je dois connaitre les opérations que j’ai le droit de faire avec les objets d’un espace vectoriel, en voici quelques unes : Propriété 1

Soient~u, ~v∈E eta, b∈R.

~u+~v=~v+~u ~u+~v=~0⇔~u=−~v a(−~u) = (−a)~u=−a~u a~u=~0⇔a= 0 ou~u=~0 Je dois connaitre les espaces vectoriels classiques :

– R – Rⁿ

– R[X] ouR_n[X] – Mn,p(R)

– R^N(l’ensemble des suites r´eelles)

– L’ensemble des applications d’un ensemble D dansR: E={f :D→R}

2 Familles, combinaisons lin´eaires

Je dois savoir ce qu’est une famille de vecteurs : D´efinition 1

Unefamilledenvecteurs d’un espace vectorielE est unn-uplet (~v1, ~v2, ..., ~v3) o`u les~vi sont des vecteurs deE.

Je dois savoir ce qu’est une combinaison lin´eaire de vecteurs : D´efinition 2

Soit (~v1, ~v2, ..., ~vn) une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E. On appelle combinaison lin´eaire des (~vi)i=1...n

toute somme Xn

i=1

λi~vi, o`u pour touti,λi est un r´eel.

Exemple :

~v1+~v2+~v3est une combinaison lin´eaire de (~v1, ~v2, ~v3) et 2~v1−~v2+ 3~v3est une autre combinaison lin´eaire de (~v1, ~v2, ~v3).

Pour une famille donnée, il existe une infinité de combinaisons linéaires. On regroupe tous ces éléments dans un même ensemble :

D´efinition 3

L’ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires d’une famille (~v1, ..., ~vn) est not´evect(~v1, ..., ~vn).

Ce que je dois savoir faire :

- Je dois savoir déterminer si un vecteur donné est une combinaison linéaire d’une famille de vecteurs donnée : Exemple 1:

SoitM =

3 4

−7 3

,A=

1 3

−1 2

etB =

−1 2

5 1

.

On cherche à savoir siM est une combinaison linéaire de (A, B). En d’autre termes on cherche à savoir si on peut trouver deux réels que pour l’instant nous allons noteraetb et qui vérifient :M =aA+bB

Or on a :

M =aA+bB⇔

3 4

−7 3

=a

1 3

−1 2

+b

−1 2

5 1

⇔

3 4

−7 3

=

a−b 3a+ 2b

−a+ 5b 2a+b

⇔











a−b= 3 3a+ 2b= 4

−a+ 5b=−7 2a+b= 3

⇔











a= 3 +b 5b+ 9 = 4 4b−3 =−7 3b+ 6 = 3

⇔

b=−1 a= 2

(2)

Donc on a M = 2A−B et doncM est une combinaison lin´eaire de (A, B). On remarque que le choix de a et b est ici unique mais ¸ca n’est pas forc´ement le cas.

Exercice 1:

1. Le vecteur (3,5,4) est-il combinaison lin´eaire de ((1,2,3),(2,1,3),(3,2,1)) ?

2. Le vecteurP(X) = 2X²−3X+ 5 est-il combinaison lin´eaire de (3X²−X, X²−2X+ 2) ? - Il faut savoir exprimer un ensemble donn´e sous la forme vect(· · ·) :

Exemple 2:

Consid´erons l’ensemble E =

x 2x−y y x+ 2y

/(x, y)∈R²

. On voudrait écrire E comme l’ensemble des combinaisons linéaire d’une famille de matrices bien fixée. Il faut donc faire apparaitre ^≪les lettres^≫ comme des coefficients de la combinaison linéaire :

E=

x 2x

0 x

+

0 −y y 2y

/(x, y)∈R²

=

x 1 2

0 1

+y

0 −1

1 2

/(x, y)∈R²

= vect

1 2 0 1

,

0 −1

1 2

Exercice 2:

Ecrire les ensembles suivant sous la forme vect(· · ·´ ) : 1. {(x+y, x−y,2y)/(x, y)∈R²}

2. {(x, y, z)∈R³/x+ 2y−3z= 0}

3. {(a+b)X²+ 2aX−b∈R[X]/(a, b)∈R²}

3 Sous-espaces vectoriels

Je dois connaitre la d´efinition d’un sous-espace vectoriel : D´efinition 4

SoitEunR-espace vectoriel etFun sous-ensemble deE. On dit queF est unsous-espace vectorieldeEssiF v´erifie :

•F est non vide

•pour tout couple (~x, ~y) d’éléments deF,~x+~yest un élément deF

•pour tout élément~xdeF et tout réelλ,λ~xest un élément deF.

Je dois connaitre la propriété qui me donne une autre fa¸con de définir un sous-espace vectoriel : Propriété 2

SoitE unR-espace vectoriel etF une partie deE.F est un sous-espace vectoriel deE ssi :

•F est non vide.

• ∀(~x, ~y)∈F²,∀(λ, µ)∈R²,λ~x+µ~y ∈F

Je dois savoir que l’ensemble des combinaisons linéaires d’une famille de vecteurs est un sous-espace vectoriel : Propriété 3

Soit (~v1, ~v2, ..., ~vn) une famille de vecteurs d’un espace vectorielE. Alors l’ensemble vect(~v1, ..., ~vn) est un sous-espace vectoriel deE.

On l’appelle lesous-espace engendr´e par la famille (~v1, ..., ~vn).

Si on me donne un ensemble E, je dois savoir montrer que c’est un sous-espace vectoriel de l’un des espaces vectoriels classiques car ¸ca me permet de r´epondre `a la question^≪Montrer queE est un espace vectoriel^≫.

Il existe deux principales m´ethodes :

– J’utilise soit la définition, soit la première propriété.

– J’écris mon ensemble sous la forme vect(· · ·) et je conclus grâce à la deuxième propriété.

(3)

Exemple 3:

Montrons que l’ensembleE={aX²+ 2aX+ 3b/(a, b)∈R²}est un sous-espace vectoriel deR[X].

M´ethode 1 : (fonctionne tout le temps)

Il faut commencer par v´erifier queE n’est pas vide. On remarque que 0 = 0X²+ 2×0×X+ 3×0∈E. DoncE n’est pas vide.

On prend ensuite deux ´el´ements quelconques deE :

P(X) =a1X²+ 2a1X+ 3b1 Q(X) =a2X²+ 2a2X+ 3b2

Puis on prend deux réelsαet β. Le but est de montrer queαP+βQest un élément deE : αP(X) +βQ(X) =α(a1X²+ 2a1X+ 3b1) +β(a2X²+ 2a2X+ 3b2)

= (αa1+βa2)

| {z }

a3

X²+ 2 (αa1+βa2)

| {z }

a3

X+ +3 (αb1+βb2)

| {z }

b3

DoncαP(X) +βQ(X)∈E et doncE est bien un sous-espace vectoriel deR[X].

M´ehtode 2 : (parfois plus rapide) On metE sous la forme vect(· · ·) :

E={a(X²+ 2X) +b×3/(a, b)∈R²}= vect(X²+ 2X,3) DoncE est un sous-espace vectoriel deR[X] (on utilise ici la propri´et´e 3)

Exercice 3:

1. A={(2x−3y, x,−x+ 3y)/(x, y)∈R²} est-il un sous-espace vectoriel deR²? 2. B={(x, y, z)∈R³/2x=yet y= 3z}est-il un sous-espace vectoriel deR²?

3. Montrer queF ={(un)n∈N/∀n∈N un+2= 3un+1+ 4un} est un sous-espace vectoriel deR^N.

4 Base, dimension

a Famille libre

Je dois savoir ce qu’est une famille libre : D´efinition 5

SoitE unR-espace vectoriel.

•Une famille finie (~v1, ..., ~vp) de vecteurs deE est ditelibressi pour toutp-uplet (λ1, ..., λp)∈R^pon a : Xp

i=1

λi~vi= 0 =⇒ λ1=...=λp= 0

•Une famille qui n’est pas libre est diteli´ee.

Je dois connaitre quelques propri´et´es des familles libres : Proposition 1

SoitE un espace vectoriel

– Si on change l’ordre des vecteurs d’une famille libre, on obtient encore une famille libre.

– Toute sous-famille d’une famille libre est une famille libre.

– Si~v6=~0 alors la famille (~v) est libre.

– La famille (~0) est li´ee.

– Si la famille (~v1, ..., ~vp) est libre et si w~ est une combinaison lin´eaire de la famille (~v1, ..., ~vp) alors les coefficients de cette combinaison lin´eaire sont uniques.

Je dois savoir d´emontrer qu’une famille est libre ou li´ee : Exemple 4:

La famille (1 +X+X²,3 +X+ 5X²,2 +X+ 3X²) est-elle une famille libre ou li´ee deR[X] ? un réel

(4)

On cherche tous les r´eelsa, b, cv´erifiant :

a(1 +X+X²) +b(3 +X+ 5X²) +c(2 +X+ 3X²) = 0

⇔(a+ 5b+ 3c)X²+ (a+b+c)X+ (a+ 3b+ 2c) = 0

⇔







a+ 5b+ 3c= 0 a+b+c= 0 a+ 3b+ 2c= 0

⇔







a+b+c= 0 4b+ 2c= 0 2b+c= 0

⇔

a=b c=−2b

On voit donc qu’il y a une infinit´e de solutions poura, b, cdonc la famille est li´ee.

Exercice 4:

D´eterminer si les familles suivantes sont des familles libres : 1. ((1,2,1),(1,0,−1))

2. ((1,−2),(2,3),(1,0)) 3.

1 1 0 1

, 2 1

3 −1

,

1 0

−1 2

b Famille g´en´eratrice

Je dois savoir ce qu’est une famille génératrice : Définition 6

SoitE unR-espace vectoriel.

Une famille (~v1, ..., ~vp) de vecteurs de E est dite g´en´eratrice de E ssi pour tout~v ∈E, il existe (λ1, ..., λp)∈ R^p tel que~v=

Xp

i=1

λi~vi.

On a donc Vect(~v1, ..., ~vp) =E.

Je dois savoir trouver une famille g´en´eratrice d’un espace vectorielE : Exemple 5:

Déterminer une famille génératrice de l’espace vectorielE=

x 2x−y y x+ 2y

/(x, y)∈R²

. On a :

E=

x 2x

0 x

+

0 −y y 2y

/(x, y)∈R²

=

x 1 2

0 1

+y

0 −1

1 2

/(x, y)∈R²

= vect

1 2 0 1

,

0 −1

1 2

Donc on peut dire que la famille

1 2 0 1

,

0 −1

1 2

est g´en´eratrice deE.

Exercice 5:

Déterminer une famille génératrice des ensembles suivant : 1. E1={(x, y, z)∈R³/2x+y−z= 0}

2. E2={(x, y, z)∈R³/−x−y+z= 0 et 2x+y−5z= 0}

(5)

c Base

Je dois savoir ce qu’est une base : D´efinition 7

SoitE un espace vectoriel et (e1, ..., en) une famille de vecteurs de E. On dit que la famille (e1, ..., en) est unebasede Essi elle est libre et g´en´eratrice deE.

Cons´equence :

Si (e1, ..., en) est une base deE alors pour tout élément~v∈E, il existenréelsa1,· · ·, an uniques tels que

~v=a1e1+· · ·+anen. Ces r´eels s’appellent les coordonn´ees du vecteur~v dans la base (e1, ..., en).

- Je dois savoir d´emonter qu’une famille donn´ee est une base : Exemple 6:

Reprenons l’exemple 5. On a vu que la famille

1 2 0 1

,

0 −1

1 2

est g´en´eratrice deE. Il faut alors montrer qu’elle est libre et on pourra dire que cette famille est une base deE

Exercice 6:

Montrer que la famille ((−3,1,0),(1,0,1)) est une base deE={(x, y, z)∈R³/x+ 3y−z= 0}.

- Je dois savoir trouver les coordonn´ees d’un vecteur dans une base donn´ee : Exemple 7:

Reprenons l’exemple 5. On cherche les coordonn´ees de

3 7

−1 1

dans la base

1 2 0 1

,

0 −1

1 2

deE. C’est à dire que l’on cherche des réels aet bqui vérifient :

3 7

−1 1

=a 1 2

0 1

+b

0 −1

1 2

⇔

3 7

−1 1

=

a 2a−b b a+ 2b

⇔









 a= 3 2a−b= 7 b=−1 a+ 2b= 1

⇔

a= 3 b=−1

Les coordonn´ees de

3 7

−1 1

dans la base

1 2 0 1

,

0 −1

1 2

sont 3 et−1

Exercice 7:

1. Soit (e1, e2, e3) la base canonique deR³ etu= (1,1,1),v= (1,−1,0) etw= (−1,1,−1) trois vecteurs.

On admet que (u, v, w) est une base deR³.

D´eterminer les coordonn´ees dee1,e2,e3 dans cette nouvelle base.

2. On admet que la famille

1 0 0 1

, 1 0

0 −1

, 0 1

1 0

,

0 −1

1 0

est une base deM2(R).

D´eterminer les coordonn´ees de

3 0 7 0

dans cette base.

d Bases canoniques

Je dois connaitre les bases canoniques des espaces vectoriels classiques : – Base canonique deRⁿ :

On d´efinit, pour tout entieriallant de 1 `an, le vecteurei deRⁿ par : ei= (0, ...,0 , 1,

|{z}

i`eme place

0, ...,0)

La famille (e1, ..., en) est labase canonique de Rⁿ.

(6)

– Base canonique deMn,p(R) :

Pour tous entiersi et j compris respectivement entre 1 et net entre 1 et p, on définit la matriceEi,j dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de laième ligne et de lajème colonne qui lui vaut 1.

La famille (E1,1, E1,2,· · ·, En,p) est labase canonique de Mn,p(R).

– Base canonique deR_n[X] : On pose pouri∈N,Pi(X) =Xⁱ.

La famille (P0,· · ·, Pn) est labase canonique de R_n[X].

e Dimension

Je dois savoir ce qu’est la dimension d’un espace vectoriel : D´efinition 8

SoitE un espace vectoriel. On dit queE est dedimension finie s’il existe une famille g´en´eratrice finie.

Th´eor`eme 1

SoitE un espace de dimension finie non réduit à{0}. Alors toutes les bases deE ont le même nombre d’éléments. Ce nombre est appelédimension de l’espace vectoriel E et est noté dimE.

Par convention on dira que l’espace{0}est de dimension 0.

Je dois connaitre les dimensions des espaces vectoriels classiques :

dim(Rⁿ) =n dim(Mn,p(R)) =np dim(R_n[X]) =n+ 1 Ce que je dois savoir faire :

Je dois savoir calculer la dimension d’un espace vectoriel donn´e :

pour cela je dois trouver une base et ensuite je peux dire que le nombre de vecteurs que contient la base est la dimension que je cherche.

Exercice 8:

Déterminer la dimension des sous-espaces vectoriels deR³ suivant : (On commencera par trouver une famille génératrice de ces espaces, puis on vérifiera que cette famille est une base et enfin on donnera la dimension)

E1={(x, y, z)∈R³/2x= 0 et 3y−z= 0}

E2={(x, y, z)∈R³/x−z= 0 et 3y−z= 0}

E3={(x, y, z)∈R³/2x−3z= 4y−5x}

E4={(x, y, z)∈R³/−x+ 2y=y+ 6z= 3z−2x}

f Base et dimension Je dois connaitre les propri´et´es suivantes : Proposition 2

SoitE un espace de dimension finien.

– Toute famille libre (resp. génératrice) denvecteurs est une base deE – Toute famille libre possède au plusnvecteurs.

– Toute famille génératrice possède au moinsnvecteurs.

Ce que je dois savoir faire : Je dois savoir utiliser ces propri´et´es :

Si je connais d´ej`a la dimensionn de E :

– Si on me donne une famille de strictement plus ou strictement moins de vecteurs quen alors je sais que cette famille n’est pasune base deE.

– Si on me donne une famille comprenant nvecteurs et que je dois démontrer que c’est une base je peux me contenter de montrer que cette famille est libre ou génératrice.

Attention

la phrase suivante est entièrement fausse : ^≪Comme E est de dimension n et que la famille (~v1,· · · , ~vn) contientnvecteurs, cette famille est génératrice^≫.

(7)

Exemple 8:

Montrons que la famille

1 0 0 1

, 1 0

0 −1

, 0 1

1 0

,

0 −1

1 0

est une base deM2(R).

Commen¸cons par montrer qu’elle est libre : Je cherche des r´eelsa, b, c, dv´erifiant :

a 1 0

0 1

+b 1 0

0 −1

+c 0 1

1 0

+d

0 −1

1 0

= 0 0

0 0

⇔

a+b c−d c+d a−b

= 0 0

0 0

⇔











a+b= 0 c−d= 0 c+d= 0 a−b= 0

⇔a=b=c=d= 0 La famille

1 0 0 1

, 1 0

0 −1

, 0 1

1 0

,

0 −1

1 0

est donc libre.

De plus je sais que dim(M2(R)) = 4 et comme j’ai une famille de 4 vecteurs je peux tout de suite dire que cette famille est une base de M2(R). (Attention ce n’est pas parce que j’ai 4 matrices dans ma famille que ma famille est g´en´eratrice, c’est juste que 4 matrices+ libre = base)

Exercice 9:

1. Soientu= (1,1,1),v= (1,−1,0) etw= (−1,1,−1) trois vecteurs deR³. Montrer que (u, v, w) est une base de R³.

2. Montrer que la famille (X³, X²(X−1), X(X−1)²,(X−1)³) est une base de R₃[X].

II Applications lin´ eaires

1 Généralités

- Je dois connaitre la définition d’une application linéaire : Définition 9

SoitE et F deuxR-espaces vectoriels etf une application deE versF. On dit quef est uneapplication lin´eaireou encore unmorphismedeE dansF ssi :

• ∀(~u, ~v)∈E²,f(~u+~v) =f(~u) +f(~v)

• ∀~u∈E et∀λ∈R,f(λ~u) =λf(~u)

On noteL(E, F) l’ensemble des applications lin´eaires deE dansF.

- Je dois savoir ce qu’est un endomorphisme :

Unendomorphisme de E est une application lin´eairef deEdansE.

- Je dois connaitre la principale proposition qui me sert à démontrer qu’une application est linéaire : Proposition 3

SoientE etF deux espaces vectoriels.f est une application lin´eaire deE dansF ssi :

∀(~u, ~v)∈E², ∀(λ, µ)∈R², f(λ~u+µ~v) =λf(~u) +µf(~v)

Je dois savoir démontrer qu’une application donnée est linéaire.

Exemple 9:

Soitf l’application qui `a toute matriceM = a c

b d

associef(M) =M + (a+d)I2, o`uI2 d´esigne la matrice 1 0

0 1

. Montrons que f est un endomorphisme deM2(R).

(8)

Nous avons ici deux choses à vérifier : tout d’abord que pour la fonctionf l’espace de départ et celui d’arrivé sont les même. Ensuite il faut vérifier que f est bien une application linéaire.

•On remarque tout d’abord que f(M) est la somme de deux matrices deM2(R) doncf(M)∈ M2(R).

•Soit maintenantM etM^′sont deux éléments deM2(R) et soitαetβdeux réels. On doit démontrer quef(αM+βM^′) = αf(M) +βf(M^′). Nous avons deux choix pour démontrer cette inégalité : soit on part du membre de gauche et on essaye d’arriver au membre de droite, soit on considère chacun des deux morceaux et on essaye de montrer qu’ils sont tous les deux

égaux à la même chose.

On a :

f(αM+βM^′) = (αM+βM^′) + (αa+βa^′+αd+βd^′)I2

=α(M+ (a+d)I2) +β(M^′+ (a^′+d^′)I2)

=αf(M) +βf(M^′) Doncf est bien lin´eaire et c’est donc bien un endomorphisme deM2(R).

Exercice 10:

1. Soitf l’application qui `a toute matriceM = a b

c d

associe la matricef(M) =a+d

2 I+b+c

2 J o`uJ = 0 1

1 0

. Montrer quef est un endomorphisme deM2(R).

2. On considère l’applicationf qui, à tout élémentP deR₂[X] associe le polynômeQtelle que : pour toutxréel : Q(x) = (x−1)P^′(x) +P(x)

Montrer quef est un endomorphisme de R₂[X]. (Attention à bien vérifier que l’espace de départ et l’espace d’arrivé sont les mêmes)

2 Image

Je dois connaitre la définition de l’image d’une application linéaire : Définition 10

SoientE et F deux espaces vectoriels etf ∈ L(E, F). On appelle imagede l’application lin´eaire f, et on note Im(f), l’ensemble suivant :

Im(f) ={f(~u)/~u∈E}

Je dois connaitre la propriété suivante qui peut m’aider à trouver une base de Im(f) : Théorème 2

SoientEun espace vectoriel de dimension finien, et (e1,· · · , en) une base deE. SoientF un espace vectoriel quelconque etf ∈ L(E, F).

Alors (f(e1),· · ·, f(en)) est une famille génératrice de Im(f), c’est-à-dire : Im(f) = vect(f(e1),· · ·, f(en)).

je dois savoir trouver une base et donc la dimension de l’image d’une application lin´eaire.

Exemple 10:

Reprenons les deux endomorphismes de l’exercice 11 et déterminons une base de leur image : 1. Pour cet endomorphisme le plus simple est d’écrire tout bêtement la définition de l’image :

Im(f) ={f(M)/M ∈ M2(R)}

= a+d

2 I+b+c

2 J/(a, b, c, d)∈R⁴

=

a×1

2I+d×1

2I+b×1

2J+c×1

2J/(a, b, c, d)∈R⁴

= vect 1

2I,1 2I,1

2J,1 2J

= vect 1

2I,1 2J

= vect(I, J)

Donc on voit que la famille (I, J) est g´en´eratrice de Im(f). Il est facile de montrer que cette famille est libre. Donc (I, J) est une base de Im(f) qui est donc de dimension 2.

(9)

2. Dans cette deuxième question il est difficile de ^≪deviner^≫ une base comme on vient de le faire dans la question précédente. Afin de se donner un candidat possible l’idée est d’utiliser le théorème 2 : on prend la base canonique de R₂[X], (P0, P1, P2), et alors on sait que (f(P0), f(P1), f(P2)) est une famille génératrice de Im(f). Il ne reste plus qu’à vérifier qu’elle est libre. On a :

f(P0) =P0 f(P1) = 2x−1 f(P2) = 3x²−2x Vous pouvez maintenant v´erifier que la famille (1,2x−1,3x²−2x) est libre.

C’est donc une base de Im(f) qui est donc de dimension 3.

Exercice 11:

Déterminer une base de l’image des deux applications linéaires suivantes : 1. f :R³→R³ définie parf(x, y, z) = (y−z, z−x, x−y).

2. f :R⁴→R³ d´efinie parf(x, y, z, t) = (2x+y+z, x+y+t, x+z−t)

3 Noyau

Je dois connaitre la définition du noyau d’une application linéaire : Définition 11

SoientE et F deux espaces vectoriels, etf ∈ L(E, F). On appelle noyaude l’application lin´eairef, et on note ker(f), l’ensemble suivant :

ker(f) ={~u∈E/f(~u) = 0F} Je dois connaitre le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 3

Soitf ∈ L(E, F). Alors

f est injective ⇔Ker(f) ={0E}

- Je dois savoir d´eterminer une base, et donc la dimension, du noyau d’une application lin´eaire.

Exercice 12:

D´eterminer le noyau, puis si possible une base de celui-ci, des applications lin´eaires suivantes :

1. f1: R³ → R³

(x1, x2, x3) → (2x1+ 5x2−2x3,−3x1+x2, x1+ 4x2+ 4x3)

2. f2: R³ → R²

(x1, x2, x3) → (2x1+x2, x2−x3) 3.

f3: M2(R) → R² M =

a b c d

→ (a+ 2b+ 4c−3d,2a−b+ 2c−5d)

- Si on m’a déjà demandé de répondre à la question^≪Déterminer le noyau def ^≫, je dois savoir répondre rapidement à la question ^≪f est-elle bijective^≫:

•Si on a montr´e que ker(f) ={0} et quef :E→F avecE etF de mˆeme dimension alorsf est bijective.

•Si on a montré que ker(f) contient d’autres éléments que 0 alorsf ne peut pas être bijective.

4 Rang

Je dois savoir que le rang d’une application lin´eaire est la dimension de son image.

Je dois connaitre le théorème du rang : Théorème 4

Soit f ∈ L(E, F), avec E espace vectoriel de dimension finie et F espace vectoriel quelconque. Alors on a l’´egalit´e suivante :

dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))

(10)

Si j’ai déjà calculé la dimension de ker(f) je dois pouvoir donner rapidement la dimension de Im(f) (et inversement).

Exemple 11:

Dans l’exemple 11 :

1. On a donc ici dim(ker(f)) = dim(M2(R))−dim(Im(f)) = 4−2 = 2

2. On a donc ici dim(ker(f)) = dim(R₂[X])−dim(Im(f)) = 3−3 = 0 et on a donc tout de suite ker(f) ={0}.

Exercice 13:

Reprendre l’exercice précédent et donner le rang des applications linéaires données.

5 Application lin´eaire et matrice

- Je dois savoir donner la matrice colonne associé à un vecteur donné dans une base donnée.

D´efinition 12

SoitEun espace vectoriel de dimensionn,B= (e1,· · · , en) une base deEet~u∈E. Le vecteur colonne associé à~udans la baseB est la matrice,nlignes et 1 colonne, contenant les coordonnées de~udans la baseB.

- Je dois savoir la définition de la matrice associée à une application linéaire : Définition 13

SoientEetF deux espaces vectoriels de dimension finie,BE= (e1, . . . , ep) une base deEet BF = (f1, . . . , fn) une base deF. Soitf ∈ L(E, F).

On appellematrice de l’application linéaire f relativement aux basesBE et BF la matriceA∈ Mn,p(R) dont laj-ième colonne contient les coordonnées def(ej) dans la baseBF.

- Je dois savoir déterminer la matrice d’un endomorphisme donné dans une base donnée : Exemple 12:

Soitf l’endomorphisme deR³ d´efini par :f(x1, x2, x3) = (x1−x3,2x1+x2−3x3,−x2+ 2x3). On cherche ici la matrice def dans la base canoniqueB= (e1, e2, e3) deR³.

Premi`ere ´etape : Je calculef(e1),f(e2) etf(e3) et j’exprime chacun de ces trois vecteurs en fonction de e1,e2,e3. f(e1) = (1−0,2×1 + 0−3×0,−0 + 2×0) = (1,2,0) = 1×e1+ 2×e2

f(e2) = (0,1,−1) =e2−e3

f(e3) = (−1,−3,2) =−e1−3e2+ 2e3

Deuxième étape : Je construit la matrice dans laquelle je met dans chaque colonne les coordonnées desf(ei). On a donc :

MB(f) =





1 0 −1

2 1 −3

0 −1 2





Exercice 14:

Déterminer la matrice def relative aux bases canoniques des espaces considérés :

1. f : R⁵ → R²

(x1, x2, x3, x4, x5) → (2x1−4x3+ 5x5,−x1+ 2x2−3x3−x5) 2. f : R₂[X] → R₂[X]

P → (x−1)P^′(x) +P(x) 3. SoitA=

1 2 3 4

. On consid`ere f : M2(R) → M2(R)

M → AM

(matrice relative `a la base (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) )

(11)

- Je dois savoir d´eterminer un endomorphisme lorsqu’on me donne sa matrice : Exemple 13:

• Soit f l’endomorphisme de R³ dont la matrice dans la base canonique de R³ est A =





−1 2 −1

−4 5 −3

−2 2 −1



. On cherche `a

r´epondre `a la question ^≪Exprimerf(x, y, z) en fonction dex,y et z.^≫ Soit (e1, e2, e3) la base canonique deR³.

– M´ethode 1 :

•Le vecteur colonne associ´e `a (x, y, z) dans la base canonique deR³ est



 x y z





•On a de plusA



 x y z



=





−x+ 2y−z

−4x+ 5y−3z

−2x+ 2y−z





•Le théorème précédent nous dit que





−x+ 2y−z

−4x+ 5y−3z

−2x+ 2y−z



est le vecteur colonne associ´e `af(x, y, z) dans la base canonique deR³.

Donc f(x, y, z) = (−x+ 2y−z)e1+ (−4x+ 5y−3z)e2+ (−2x+ 2y−z)e3

= (−x+ 2y−z,−4x+ 5y−3z,−2x+ 2y−z) – M´ethode 2 :

D’après la définition de la matrice associé à un endomorphisme on peut écrire : f(e1) =−e1−4a2−2e3

f(e2) = 2e1+ 5e2+ 2e3

f(e3) =−e1−3e2−e3

Donc pour tout (x, y, z)∈R³ comme on a (x, y, z) =xe1+ye2+ze3on peut ´ecrire : f(x, y, z) =f(xe1+ye2+ze3)

=xf(e1) +yf(e2) +zf(e3)

=x(−e1−4a2−2e3) +y(2e1+ 5e2+ 2e3) +z(−e1−3e2−e3)

= (−x+ 2y−z)e1+ (−4x+ 5y−3z)e2+ (−2x+ 2y−z)e3

= (−x+ 2y−z,−4x+ 5y−3z,−2x+ 2y−z)

- Je dois savoir calculer l’image d’un vecteur par un endomorphisme lorsqu’on ne connait que la matrice associ´ee `a cet endomorphisme.

Exemple 14:

Soitf l’endomorphisme de R₂[X] dont la matrice dans la base canonique deR₂[X] estA=





3 1 0

−3 0 1

1 0 0



. On consid`ere

le polynˆomeP = 3X²−2X+ 1. Calculerf(P).

Soit (P0, P1, P2) la base canonique deR₂[X].

– M´ethode 1 :

•Le vecteur colonne associ´e `a P dans la base canonique deR₂[X] est



 1

−2 3



.

•On a A



 1

−2 3



=



 1 0 1





•



 1 0 1



doit être le vecteur colonne associé à f(P).

Donc on af(P) = 1P0+ 0P1+ 1P2= 1 +X². – M´ethode 2 :

D’après la définition de la matrice associé à un endomorphisme on peut écrire : f(P0) = 3P0−3P1+P2= 3−3X+X² f(P1) =P0= 1

f(P2) =P1=X

(12)

Or on aP= 3P2−2P1+P0 donc

f(P) =f(3P2−2P1+P0) = 3f(P2)−2f(P1) +f(P0) = 3X−2 + 3−3X+X²=X²+ 1

Exercice 15:

1. D´eterminer l’endomorphisme deR³ dont la matrice relative `a la base canonique est





6 10 11

2 6 5

−4 −8 −8



.

2. D´eterminer l’endomorphisme deR₂[X] dont la matrice relative `a la base canonique est





1 1 0 0 1 2 0 0 1



.

- Je dois connaitre quelques propriétés sur les matrices associées aux morphismes : Propriété 4

Soientf etg deux morphismes deE dansF etλ∈R. Alors on a :

MBE,BF(f+g) =MBE,BF(f) +MBE,BF(g) MBE,BF(λf) =λMBE,BF(f)

Propri´et´e 5

SoitGun autre espace vectoriel de dimension finie muni d’une baseBG. Soient aussif ∈ L(E, F) et g∈ L(F, G). Alors on a :

MBE,BG(g◦f) =MBF,BG(g)× MBE,BF(f) Propri´et´e 6

Soit u un endomorphisme de E et M sa matrice relative `a la base BE. Alors u est bijectif si et seulement si M est inversible et dans ce casM⁻¹est la matrice deu⁻¹ relativement `a la baseBE.

Cons´equence :

Pour savoir si un morphisme est bijectif il suffit de regarder si sa matrice associ´ee (dans n’importe quelle base) est inversible.

III R´ eduction

1 Changement de base

a Matrice de passage

- Je dois savoir comment construire la matrice de passage d’une base `a une autre :

Si B = (e1,· · · , en) et B^′ = (f1,· · · , fn) sont deux bases alors pour construire la matrice de passage de B à B^′ je met dans laj-ième colonne les coordonnées du vecteurfj dans la basesB.

- Je dois savoir qu’une matrice de passage d’une baseB`a une autre base B^′ est toujours inversible et son inverse est la matrice de passage deB^′ `aB.

je dois savoir construire une matrice de passage.

Exemple 15:

Soient B1 = (P0, P1, P2, P3) la base canonique de R₃[X], etB2 = (R0, R1, R2, R3), avec R0(X) = 1, R1(X) = X −1, R2(X) = (X−1)²,R3(X) = (X−1)³une autre base de cet espace. D´eterminer la matrice de passage deB1`a B2.

On doit chercher les coordonn´ees de R0, R1, R2 et R3 dans la base B1, c’est-`a-dire que l’on doit exprimer les Ri en fonction desPi :

R0(X) =P0+ 0P1+ 0P2+ 0P3

R1(X) =−1 +X=−P0(X) +P1(X) + 0P2+ 0P3

R2(X) = 1−2X+X²=P0(X)−2P1(X) +P2(X) + 0P3

R3(X) =−1 + 3X−3X²+X³=−P0(X) + 3P1(X)−3P2(X) +P3(X)

On en d´eduit quePB1,B2 =







1 −1 1 −1

0 1 −2 3

0 0 1 −3

0 0 0 1





.

(13)

Exercice 16:

D´eterminer la matrice de passage de la baseB`a la base B^′.

1. Best la base canonique deR³ etB^′= (~u, ~v, ~w) avec~u= (1,1,1),~v= (1,−1,0) et w~ = (1,1,−2).

2. B= (1,(X−2),(X−2)²) etB^′ est la base canonique deR₂[X].

b Propri´et´es

- Je dois connaitre les formules de changement de base : Propri´et´e 7

On considèreBet B^′ deux bases de l’espace vectorielE. Soit−→u ∈E. On noteX le vecteur colonne associé à−→u dans la baseB,X^′ le vecteur colonne associé à−→u dans la baseB^′ et P la matrice de passage deBà B^′. Alors on a :

X =P X^′

Propri´et´e 8

On consid`ereBetB^′deux bases de l’espace vectorielEetf un endomorphisme deE. On poseM =MB(f),M^′=MB^′(f) etP =PB,B^′. Alors on a :

M =P M^′P⁻¹

2 Valeur propre, vecteur propre

- Je dois connaitre la d´efinition d’une valeur propre et d’un vecteur propre : D´efinition 14

• Soitf ∈ L(E). On dit qu’un réelλ est une valeur proprede l’endomorphisme f ssi il existe un vecteur~x∈E tel que~x6= 0E etf(~x) =λ~x. Un vecteur~xvérifiant cette égalité est appelé unvecteur propre de f associé à la valeur propreλ.

•SoitA∈ Mn(R). On dit qu’un réelλest unevaleur proprede la matriceAssi il existeX ∈ Mn,1(R) tel queX6= 0 et AX=λX. Un vecteur colonneX vérifiant cette égalité est appelé un vecteur propre de A associé à la valeur propreλ.

- Je dois connaitre tout une liste de petite propriétés sur les valeurs propres et vecteur propres (vous reporter à votre cours)

- Je dois connaitre la propriété des polynômes annulateurs : Théorème 5

Soitf ∈ L(E), et P un polynˆome annulateur def. Alors toute valeur propre def est une racine deP. Ce que je dois savoir faire :

- Je dois savoir vérifier qu’un vecteur donné est un vecteur propre ou qu’un réel donné est une valeur propre : Exemple 16:

Soitf : (x, y, z)→(y+z,2y,−2x+y+ 3z). Montrons queu= (1,1,1) est un vecteur propre def.

On af(u) = (1 + 1,2,−2 + 1 + 3) = (2,2,2) = 2(1,1,1) = 2uDoncuest un vecteur propre def associ´e `a la valeur propre 2.

Exemple 17:

Soitf ∈ L(R₂[X]) d´efinie parf(P) = (X−1)P^′+P. On poseR(X) = (X−1)². Montrons queRest un vecteur propre def.

On a f(R) = (X−1)R^′+R = (X−1)2(X −1) + (X −1)² = 3(X−1)². Doncf(R) = 3R et ainsi R est un vecteur propre de f associ´e `a la valeur propre 3.

Exemple 18:

SoientA=





7 3 −9

−2 −1 2

2 −2 −4



et X =



 3

−1 1



. Montrer que X est un vecteur propre deAet d´eterminer la valeur propre associ´ee.

(14)

On aAX=





7 3 −9

−2 −1 2

2 −1 −4







 3

−1 1



=



 9

−3 3



. DoncAX= 3X et ainsiXest un vecteur propre deAassoci´e `a la valeur propre 3.

Exemple 19:

V´erifions que 1 est une valeur propre de la matriceA=





0 1 1

0 2 0

−2 1 3





Pour cela, il faut vérifier que le systèmeAX= 1X admet une infinité de solutions :

AX=X⇔







y+z=x 2y=y

−2x+y+ 3z=z

⇔





 z=x y= 0

−2x+ 2z= 0

⇔

z=x y= 0 Donc il y a bien une infinit´e de solutions, ce qui signifie que 1 est bien valeur propre.

Exercice 17:

1. SoitA=





2 −1 −2

2 −1 −4

−1 1 3



. V´erifier que 1 et 2 sont des valeurs propres deA.

2. SoientA=





5 5 −14

6 6 −16

5 5 −14



etV1=



 1 2 1



,V2=



 1

−1 0



etV3=



 1 1 1



. Montrer queV1,V2,V3sont trois vecteurs propres deAet donner les valeurs propres auxquelles ils sont associ´es.

- Je dois savoir utiliser la propriété des polynômes annulateurs : Exemple 20:

SoitN=





0 −1 0

1 3 1

−3 −8 −3



.

On a

N²=





−1 −3 −1

0 0 0

1 3 1



 N³=





0 0 0





On a doncN³= 0. On considère le polynômeP(x) =x³. On a donc montré que P est un polynôme annulateur deN. Donc les valeurs propres de N sont à chercher parmi les racines de P. Or on a P(x) = 0⇔x= 0. Donc 0 est la seule valeur propre possible de N.

Exercice 18:

SoitM =





2 2 2

2 5 5

−2 −5 −5



. Montrer queM³= 2M². En d´eduire les valeurs propres possibles deM.

- Je dois savoir trouver les valeurs propres d’une matrice : Il existe deux types de r´edaction possible :

•Soit, grˆace au pivot de Gauss, je cherche les r´eelsλtels queA−λI n’est pas inversible (je transforme la matriceA−λI en une matrice triangulaire et je regarde les valeurs deλqui font apparaitre des 0 sur la diagonale)

•Soit je raisonne sous forme de système à paramètre : je chercher à résoudreAX=λX et je veux que ce système admette une infinité de solutions, ce qui me donne des conditions sur λ.

Exemple 21:

D´eterminer les valeurs propres de la matrice suivante :A=





5 1 −1

2 4 −2

1 −1 3





•M´ethode par syst`eme :

On cherche les valeurs du paramètre réelλpour lesquelles le systèmeAX=λXadmet une infinité de solutions. Résolvons donc ce système à paramètre :

(15)

AX=λX⇔







(5−λ)x+y−z= 0 2x+ (4−λ)y−2z= 0 x−y+ (3−λ)z= 0

⇔







x−y+ (3−λ)z= 0 2x+ (4−λ)y−2z= 0 (5−λ)x+y−z= 0

L1↔L3

⇔







x−y+ (3−λ)z= 0 (6−λ)y+ 2(λ−4)z= 0 (6−λ)y−(λ²−8λ+ 16)z= 0

L2←L2−2L1

L3←L3−(5−λ)L1

⇔







x − y + (3−λ)z = 0

(6−λ)y + 2(λ−4)z = 0

(2(λ−4) + (λ−4)²)z = 0 L3←L2−L3

Ce système étant maintenant sous forme triangulaire, on peut dire que si les coefficients diagonaux ne sont pas nul alors il admet une unique solution qui est la solution évidente (0,0,0).

Les valeurs propres sont les valeurs de λpour lesquelles un des coefficient diagonal est nul :

6−λ= 0⇔λ= 6 et (2(λ−4) + (λ−4)²) = 0⇔(λ−4)(λ−2) = 0⇔λ= 4 ouλ= 2 La matriceAadmet trois valeurs propres : 2, 4 et 6.

•M´ethode matricielle :

On cherche les valeurs deλpour lesquelles la matriceA−λI n’est pas inversible. Pour cela nous allons utiliser la m´ethode du pivot de Gauss.

A−λI =





5−λ 1 −1

2 4−λ −2

1 −1 3−λ





 ↓



1 −1 3−λ

2 4−λ −2

5−λ 1 −1



 L1↔L3

 ↓



1 −1 3−λ

0 6−λ 2λ−8 0 6−λ −λ²+ 8λ−16



 L2←L2−2L1

L3←L3−(5−λ)L1

 ↓



1 −1 3−λ

0 6−λ 2λ−8

0 0 2(λ−4) + (λ−4)²





L3←L2−L3

On sait qu’une matrice triangulaire est inversible ssi ses éléments diagonaux sont non nuls, donc les valeurs propres deA sont les valeurs deλpour lesquelles on trouve un zéro sur la diagonale de la matrice ci dessus :

6−λ= 0⇔λ= 6 et (2(λ−4) + (λ−4)²) = 0⇔(λ−4)(λ−2) = 0⇔λ= 4 ouλ= 2 La matriceAadmet trois valeurs propres : 2, 4 et 6.

Exercice 19:

D´eterminer les valeurs propres de la matrice





1 −2 2

−2 1 2

−2 −2 5



.

- Je dois savoir d´eterminer une base des sous-espaces propres :

Le sous-espace propre associé à une valeur propreλest l’ensemble des solutions du systèmeAX=λX⇔(A−λI)X = 0 Pour résoudre ce système une fois que vous connaissez la valeur deλpenser à utiliser ce que vous avez fait pour trouver λ.

Exemple 22:

Reprenons la matrice A de l’exemple précédent puis déterminons une base du sous-espace propre associé à la valeur propre 2.

Cela signifie qu’il faut r´esoudre l’´equationAX= 2X, puis donner une base de l’ensemble des solutions.

•M´ethode par syst`eme :

On a déjà fait un morceau du travail pour résoudreAX = 2X. On peut donc reprendre nos calculs là où on les a laissé en remplacantλpar 2 :

AX= 2X⇔







x−y+z= 0 4y−4z= 0 0 = 0

⇔

x= 0 y=z

(16)

Donc E2 =









 0 y y



;y∈R







= vect







 0 1 1







. La famille







 0 1 1







 est donc génératrice de E2, de plus comme elle est constituée d’un seul vecteur non nul, c’est une famille libre.

Donc la famille







 0 1 1







est une base deE2.

•M´ethode matricielle :

On remarque ici queAX= 2X ⇔(A−2I)X = 0. Pour r´esoudre ce syst`eme, on peut donc utiliser les calculs fait dans le pivot de Gauss :

(A−2I)X = 0⇔





1 −1 1

0 4 −4

0 0 0







 x y z



= 0⇔







x−y+z= 0 4y−4z= 0 0 = 0

⇔

x= 0 y=z La suite se déroule comme pour la méthode par système.

Exercice 20:

Déterminer une base de chacun des sous-espace propres de la matrice de l’exercice précédent.

3 Diagonalisation

- Je dois connaitre les deux théorèmes de réduction : Théorème 6

Soitf ∈ L(E) (resp.A∈ Mn(R)). On noteλ1, . . . , λk toutes les valeurs propres distinctes def (resp. deA). Alors on a :

f(resp.A) est diagonalisable⇐⇒

Xk

i=0

dim(Eλi) =n

≪f (resp.A) est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres vautn.^≫ Th´eor`eme 7

•Soitf ∈ L(E). Sif admetnvaleurs propres distinctes alorsf est diagonalisable.

•SoitA∈ Mn(R). SiA admetnvaleurs propres distinctes alorsAest diagonalisable.

- Je dois savoir qu’une matrice symétrique est diagonalisable : Théorème 8

Toute matrice sym´etrique est diagonalisable.

- Je dois savoir d´emontrer qu’une matrice ou un endomorphisme est diagonalisable :

• Si la matrice est symétrique aucun calcul n’est nécessaire pour répondre à la question^≪la matrice est-elle diagonalisable ?^≫.

• Si la matrice de l’endomorphisme n’est pas sym´etrique alors j’ai besoin de connaitre toutes les valeurs propre def ou A.

−→ Si il y a autant de valeurs propres que la^≪taille^≫ de la matrice ou la dimension de l’espace de d´epart de l’endomorphisme alors je peux tout de suite dire que la matrice ou l’endomorphisme est diagonalisable.

−→Sinon je dois calculer la dimension de tous les sous-espaces propre et utiliser le th´eor`eme 6.

Exercice 21:

Les matrice suivantes sont-elles diagonalisables :

1. A=





1 0 1

0 1 0

1 1 1



 2. A=





3 0 1

−1 2 −1

−2 0 0



 3. A=





4 −3 −1

4 −3 −2

−1 1 2



 4. A=





2 1 1

1 2 1

1 1 2





(17)

- Lorsque A est diagonalisable, je dois savoir donner une matrice P inversible et une matrice D diagonale telles que A=P DP⁻¹ :

D est la matrice diagonale o`u l’on trouve les valeurs propres de Asur la diagonale etP est la matrice de passage de la base canonique `a une base de vecteurs propres.

Exercice 22:

Pour les matrices de l’exercice précédent qui étaient diagonalisables, donner une matriceD diagonale et une matrice P inversible telles que A=P DP⁻1.