ECE 2 MATHEMATIQUES Interro 1 - durée : 10’
18 septembre 2020
1. F est un s.e.v. deEsi : a. F 6=∅
b. ∀λ∈R, ∀(u, v)∈F2, λu+v∈F. 2. Supposons que la famille(ui)16i6n+1est libre.
Soit alors une famille de réels(λi)16i6ntels que
n
X
i=1
λiui=~0. Alors
n
X
i=1
λiui+ 0un+1=~0.
Or,(ui)16i6n+1est libre, donc tous les coefficients valent 0 :λ1=...=λn= 0. (λn+1valait déjà 0).
Ceci signifie bien que la famille(ui)16i6nest libre.
3. La familleF n’est pas génératrice deM4,1(R), car elle ne comporte que3 vecteurs, dans un e.v. de di- mension4.
4. La3ecolonne s’obtient par différence des deux premières, doncM est au plus de rang2.
Les deux premières colonnes n’étant clairement pas colinéaires, on a bien rg(M) = 2. 5. Non. Voici un contre-exemple simple :
La fonctionx7−→ −xest décroissante surR(affine de coefficient négatif).
Mais, si on multiplie par−1, on obtient la fonction définie parf(x) =x, qui elle est croissante surR.
L’ensemble des fonctions décroissantes n’est donc pas stable par produit par un réel.
ECE 2 1/1 Lycée François Couperin
