L1-S2-M2 2011/2012 18 juin 2011 - Session 2
Examen de Mathématiques (M2) Dure: 2 heures
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Exercice 1 : SoitM2(R)l'ensemble des matrices2×2à coecients réels, muni de l'addition des matrices et de la multiplication par des scalaires et supposons connu le fait que M2(R) devient ainsi un R-espace vectoriel. Soit le sous-ensembleC deM2(R) déni par :
C =
½
M ∈ M2(R)
¯¯
¯∃(a, b)∈R2 tel queM =
µa −b b a
¶¾
1. Montrer queC est sous-espace vectoriel de M2(R). 2. Soient les matricesI =
µ1 0 0 1
¶
etJ =
µ0 −1 1 0
¶ .
(a) Montrer queI, J ∈ C et que toute matriceM ∈ C s'écrit comme combinaison linéaire deI etJ. (b) Montrer que le système de 2 vecteurs{I, J}est libre. Pourquoi est-il une base de C?
3. Munissons à présentC de la loi de multiplication usuelle des matrices2×2. [Indication pour la suite : on pourrait utiliser la question (2.a)]
(a) CalculerJ2.
(b) Montrer que cette loi est interne àC (autrement dit, C est stable par multiplication).
(c) La multiplication dansC est-elle commutative ? Quel est l'élement neutre ? (d) La multiplication dansC est-elle associative ?
(e) Montrer que chaque M ∈ C sauf la matrice nulle admet un élément inverse que l'on précisera.
[Indication : on pourrait utiliser la question (2.b)]
4. Quelle est la structure algébrique de C si on le munit de l'addition et de la multiplication entre les matrices ? Justiez la réponse.
Exercice 2 : Soit le polynôme P =X4−4X+ 3.
1. Montrer qu'il admet une racine doubleα∈R, qu'on trouvera. Cette racine est-elle triple ?
2. SoitQ=X2+ 2X+ 3. Trouver ses racines et le factoriser (en produit de polynômes irréductibles) sur Ret surC.
3. Qdivise-t-ilP?
4. En déduire une factorisation deP en produit de polynômes irréductibles sur Ret surC.
Exercice 3 : SoitR2[X]l'ensemble des polynômes à coecients réels de degré≤2. Soit T l'application de R2[X]dans lui-même dénie par :T(P) =P+P0+P00, ∀P ∈R2[X]oùP0, P00 sont les polynômes dérivées (première, seconde) deP.
1. Montrer queT est une application linéaire.
2. PourP =a+bX+cX2 ∈R2[X]calculerT(P) exprimé dans la base canonique B0={1, X, X2}. 3. Trouver la matrice Ade T dans la base canonique B0.
4. En déduire quekerT, le noyau deT, est égal à{0}(où0 est le polynôme nul).
5. En déduire queT est bijective. Justier.
6. Montrer que le système de vecteursB={1,1 +X,1 +X−X2}est aussi une base deR2[X]. 7. Trouver la matrice M de passage deB0 à Bainsi que son inverse, la matrice de passage deB à B0. 8. Si on note par A0 la matrice deT dans la nouvelle base B, donner une relation reliant la matrice A0
aux matricesA,M etM−1. 9. CalculerA0.
