L1-MS2 - 2010/2011 - Examen du 11 mai 2011 - Session 1
Examen de Mathématiques pour les Sciences (MS2)
Durée: 3 heures Les documents, les calculatrices et les téléphones portables ne sont pas autorisés
Exercice 1 : 1. (a) Décomposer en éléments simples surRla fraction rationnelle X+ 3 X3−X. (b) En déduire la valeur de l'intégrale :I =
Z 3
2
x+ 3 x3−xdx.
2. (a) Quelle est la décomposition en éléments simples sur Rde la fraction rationnelle X+ 1 2X2+ 3X+ 2? (b) Calculer l'intégraleI =
Z 1
0
x+ 1
2x2+ 3x+ 2dx. Exercice 2 : 1. Soit, pourn∈N∗ eta∈R∗,In(x) =
Z x
0
1
(t2+a2)ndt. (a) CalculerI1(x).
(b) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, la récurrence entreIn+1 etIn suivante : 2na2In+1(x) =x(x2+a2)−n+ (2n−1)In(x), ∀n∈N∗.
2. (a) Mettrex2+ 4x+ 5sous la forme(x+b)2+a2 aveca, b que l'on précisera.
(b) Calculer une primitiveF de la fonction f(x) = x+ 1 (x2+ 4x+ 5)2.
(Indication : utiliser la récurrence établié precédemment pour calculer une partie de R
f(x)dx) Exercice 3 : Soitf(x) = sinx+ sin(2x)
cosx+ cos(2x).
1. Donner les expressions de sin(2x) et de cos(2x) en fonction de sinx, cosx et en déduire le domaine Dde dénition de f. Admet-elle de primitive sur chaque intervalle ouvert I contenu dans ce domaine (justier) ?
2. Sur un tel intervalleI, calculer (par changement de variable approprié) une primitiveF def.
Exercice 4 : On veut trouver l'ensemble de fonctions y : R → R de classe C4 qui vérient l'équation diérentielle d'ordre 4 :
(E) y(4)+ 2y00= sinx+ 4x
1. (a) En faisant un changement de fonction inconnue z = y00 se ramener à une équation diérentielle d'ordre 2 enz, que l'on écrira et notera (e).
(b) Si (e0) est l'équation sans second membre attachée à (e), écrire l'équation caractéristique et en déduire l'ensemble des solutionsz0 de (e0).
(c) Trouver une solution particulière de (e) (indication : utiliser le principe de superposition des solutions).
(d) En déduire la solution générale de (e).
2. Revenir sur le changement de fonction inconnue et calculer la solution généraley de (E).
Exercice 5 : On se propose d'étudier la limite : L= lim
x→0
x4log(1 +x) 2 cos(sinx)−2−x2.
1. Donner le développement limité à l'ordre 5 enx0 = 0 des fonctionssin etcos.
2. En déduire le développement limité à l'ordre 5 enx0 = 0 de la fonction composéex7→cos(sinx). 3. Étudier la limiteLet donner sa valeur si elle existe.
