1 S1 Devoir Maison 3 : Pour le 4 mai 2015 2014-2015
EXERCICE 1 Dans chacun des cas suivants, calculer la valeur exacte du produit scalaire−−→ AB.−→
AC.
1. A B
C
2 3
45◦
2. A
B
C 2 3 K 3.
1 2
1 2 3
−1
−2
x y
A
B C
• • •
EXERCICE 2 Le quadrilatèreABDC est tel queAB=CD= 4,AC=BD= 3 etAD= 6 (voir figure ci-dessous).
A B
D C
4
3 6
1. Déterminer la valeur exacte de−−→ AB.−→
AC
2. En déduire la mesure, à 0,1◦près, de l’angle (−−→ AB;−→
AC).
3. (a) Développer−−→ BA+−→
AC2 .
(b) En déduire la valeur exacte de la longueurBC.
• • •
EXERCICE 3 ABCD est un rectangle.I est le milieu de [AB]. On noteθ=−→
AC;−→
DI .
θ
× ×
×
×
A I× B
C
D 1. On suppose dans cette question queAB= 8 etAD= 3.
En exprimant de deux façons le produit scalaire −→
AC.−→
DI, déterminer la valeur exacte de cosθpuis une valeur approchée deθà 0,1◦ près.
2. On suppose dans cette question queAB=aet AD=b.
(a) Montrer que−→
AC.−→
DI = 12a2−b2
(b) En déduire quelle condition doivent vérifieraetbpour que les droites (AC) et (DI) soient perpendiculaires.
• • •
EXERCICE 4 On considère les pointsA, B etC de coordonnéesA(−2 ; 1),B(2 ;−2) etC(5 ; 2).
1. (a) Déterminer une équation du cercleC de diamètre [AC].
(b) Le pointB appartient-il au cercleC?
Que peut-on en déduire sur la nature du triangleABC? 2. (a) Déterminer une équation de la médiatrice ∆ du segment [AC].
(b) En déduire les coordonnées des points d’intersection du cercleC et de la droite ∆.
• • •
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EXERCICE 5 ABC est un triangle rectangle enAet on a :
• AC= 2AB;
• I le milieu de [BC] ;
• H le pied de la hauteur issue de Adans le triangleABC;
• E etF les projetés orthogonaux deH respectivement sur (AB) et (AC).
1. SoitJ le milieu de [AC].
(a) Justifier que A;−−→
AB;−→
AJ
est un repère orthonormé.
(b) Donner, sans justifier, les coordonnées des pointsA,B,CetIdans ce repère.
2. Déterminer une équation de la droite (BC).
3. Déterminer une équation de la droite (AH) à l’aide d’un vecteur normal.
4. En déduire les coordonnées deH, puis celle deE etF.
5. Montrer que les droites (AI) et (EF) sont perpendiculaires. × ×
×
×
×
×
×
A B
C
H F
E I
• • •
EXERCICE 6 Les figures données ci-dessous représentent un parallélépipèdeABCDEGHainsi que son patron. Ce patron est fabriqué à partir d’une feuille cartonnée carrée de 30 cm de côté et on a BC=AD=F G=EH =xcm.
1. À quel intervalle appartientx?
2. Démontrer que le volumeV(x) du parallélépipèdeABCDEF GH s’exprime, en cm3, par V(x) = 2x3−60x2+ 450x
3. Déterminer l’expression deV′(x), la dérivée de V. En déduire les variations de la fonctionV. 4. Comment faut-il choisirxpour que le volumeV(x) ci-dessus soit maximal ?
5. Le parallélépipède ainsi obtenu est une boîte de lait.
(a) Quelles sont les dimensions de la boîte lorsque le volume est maximal ?
(b) Le fabricant voudrait que le volume de cette boîte soit de 0,5 litres, c’est-à-dire 500 cm3. Combien de valeurs dexpermettent de fabriquer de telles boîtes ?
30
30
x x
bande découpée bande découpée
x Lait
Lait
A B
C D
F G H
E
A B
C D
E
F G H
C′ D′ A′ E′ H′
G′
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