Lycée Hoche MPSI B Feuille FVG : continuité
1. (Ecg01)Soitϕune application continue deRdansR. Étu- dier la continuité def dénie dansR2par
f((x, y)) = Z x+y
x−y
ϕ(t)dt
2. (Ecg02)Équivalence des normes en dimension 2.
Soit N et N0 deux normes sur un plan vectoriel muni d'une base(u, v).
a. Montrer que pour tous vecteurs xety :
|N(x)−N(y)| ≤N(x−y) b. Montrer que la fonction
t→ N(u+tv) N0(u+tv)
est continue de R dans R. En déduire qu'elle est majorée.
c. Montrer qu'il existe deux réelsA etB strictement positifs tels que, pour tout vecteurx:
N(x)≤AN0(x) N0(x)≤BN(x)
3. (Ecg03)Démonstration du théorème de d'Alembert.
Soit P un polynôme à coecients complexes de degré plus grand que 1.
a. En utilisant le théorème de Bolzano-Weirstrass, montrer qu'il existe un nombre complexez0tel que
|P(z0)|= min{|P(z)|, z∈C}
b. Les propriétés de la fonction exponentielle com- plexe montrent que, pour toutZ complexe non nul et tout entierk, il existe unztel que zk =Z. Montrer que si |P(z0)|>0 alors il existe un z tel que|P(z)|<|P(z0)|.
On pourra s'approcher de z0 sur une droite bien choisie.
c. En déduire le théorème de d'Alembert.
4. (Ecg04)Norme attachée à un convexe symétrique -
jauge.
Soit Ω une partie d'un plan vectoriel réel convexe et symétrique par rapport à l'origine. On suppose de plus que pour toutznon nul du plan, il existe un unique réel λ >0 tel que
Ω∩R+z= [O, λz]
La demi-droite d'origineOet passant parzest désignée parR+z. On pose
NΩ(z) = 1
λ, NΩ(O) = 0
Montrer que NΩ est une norme. Pour l'inégalité trian- gulaire,
NΩ(z1+z2)≤NΩ(z1) +NΩ(z2)
on pourra utiliser la gure1, introduire le point d'inter- section udu segment [u1, u2] avec la demi-droite R+Z et calculer le réelµtel queµu=Z.
O
Z=z1+z2
u1 u2
z1
Ω
z2
Fig. 1 inégalité triangulaire 5. (Ecg05)NormeNp.
Soitp≥1, on veut montrer que
Np(x, y) = (|x|p+|y|p)1p
dénit une norme surR2. Le nombreq est déni par : 1
p+1 q = 1
a. Calculer une jolie expression pour la dérivée se- conde dans]0,1[de
fp(x) = (1−xp)1p
Tracer les graphes pour p = 1, p = 1.5, p = 2, p= 4.5.
b. Montrer queΩp est convexe avec (x, y)∈Ωp⇔ |x|p+|y|p≤1
c. Montrer que Np est une norme (utiliser l'exercice Ecg04)
6. (Ecg06)La droite d'équationx= 0est notéeD. Une fonc- tionf est dénie par :
f(m) =
x2(m) +y2(m)
x(m) sim6∈ D
0 sim=O
En distinguant divers cas, étudier la continuité def en a. Préciser les lignes de niveau def.
7. (Ecg07)Soitf etgdeux applications bornées de[0,1]dans R. On dénit une fonctionM deR2 dansRpar :
M(a) = sup{xf(t) +yg(t), t∈[0,1]} aveca= (x, y) Montrer queM est contine.
8. (Ecg08) Soit Γ la courbe de niveau 0 de la fonction x−sin(y)oùxety sont les fonctions coordonnées dans un repère xé (origineO) d'un plan E. On dénit une fonctionf dansE\Γ par :
f = sinx−y x−siny
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai _fex_cgpdf du 28 février 2020
Lycée Hoche MPSI B Feuille FVG : continuité
a. Montrer quef n'admet pas de limite enO. Préciser une courbe paramétrée γ telle que γ(t) converge vers O pour t en 0 et que |f(γ(t))| diverge vers l'inni.
b. La fonction admet-elle une limite en un pointA6=
OdeΓ?
9. (Ecg09)On désigne par xet y les fonctions coordonnées dans un repère(O,−→
i ,−→ j ,−→
k)et on dénit une fonction f dans le plan privé de la première bissectrice notée D par
f =sinx−siny x−y
En utilisant le théorème des accroissements nis entre x(m)ety(m)pour un pointmquelconque et la fonction sin, montrer quef admet une limite en un pointm0 ∈ D.
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2 Rémy Nicolai _fex_cgpdf du 28 février 2020
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1. pas de correction pour Ecg01.tex 2. pas de correction pour Ecg02.tex 3. pas de correction pour Ecg03.tex 4. pas de correction pour Ecg04.tex 5. pas de correction pour Ecg05.tex 6. pas de correction pour Ecg06.tex
7. NotonsMf = sup[0,1]|f|etMg= sup[0,1]|g|. On montre que
|M(a0)−M(a)| ≤(Mf+Mg)N∞(a0−a) En majorant
xf(t) +yg(t)−(x0f(t) +y0g(t)) 8. pas de correction pour Ecg08.tex
9. pas de correction pour Ecg09.tex
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