Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 24 (03/05 – 07/05) Colles à distance
NB : Les cours de l’après-midi sont en distanciel, mais les colles peuvent être faites en présentiel. Les colleurs devront s’organiser avec les élèves pour voir ce qui est préférable pour eux et pour les élèves.
Peut-être que dans de nombreux cas, prévoir un battement de 10 à 15 minutes après les cours est suffisant
Chapitre 22 : Polynômes et fractions rationnelles
5. Fractions rationnelles
‚ Généralités
˚ Définition deKpXq.
˚ Définition des loisˆet`
˚ Structure de corps deKpXq
˚ Injection canoniqueKrXsãÑKpXq; via l’indentification de P1 et P, on considèreKrXs ĂKpXq.
˚ Simplification des fractions
‚ Degré, racines, pôles
˚ Degré.
˚ Degré d’une somme, d’un produit, d’un inverse.
˚ Partie entière (ou partie polynomiale)
˚ Racine, pôle, multiplicité.
˚ Fonction rationnelle associée, et domaine de définition.
‚ Décomposition en éléments simples
˚ Partie entière (polynomiale) d’une fraction rationnelle.
˚ Séparation des parties associées à chaque facteur irréductible : F“E`ÿ Qi
Piαi.
˚ DécompositionQ“ř
RjPiβ,degpRjq ădegP.
˚ DÉS dansKrXs.
˚ Expression de la DÉS dansCrXs.
˚ Expression du coefficient à l’aide de P et Q1 pour un pôle simple. Expression par multiplication et évaluation.
˚ Utilisation de DL pour des pôles multiples (la validité du DL de la variable complexe est admise ; elle peut être justifiée par la formule de sommation des séries géométriques). La division suivant les puissances croissantes n’est pas au programme et n’a pas été évoquée.
˚ DÉS de PP1 dansCrXs, (ou dansRrXssiP scindé)
˚ DÉS dansRrXs
6. Intégration des fractions rationnelles
La méthode a été explicitée. Se limiter à des situations pas trop complexes. Évitez les exercices excessivement techniques.
Chapitre 28 : Combinatoire
1. Combinatoire des ensembles finis
‚ Rappels sur les cardinaux finis (unions, complémentaires, produit cartésien...)
‚ Formule du crible de Poincaré.
2. Combinatoire des ensembles d’applications
‚ Cardinal de l’ensemble des applications ;p-listes.
‚ Cardinal de l’ensemble des parties.
‚ Lemme du berger.
‚ Dénombrement des injections.p-arrangements.
‚ Dénombrement des permutations.
‚ Pas de résultat particulier concernant les surjections.
3. Combinatoire des sous-ensembles
‚ Coefficient binomial (définition combinatoire)
‚ Expression factorielle du coefficient binomial.
‚ Démonstration combinatoire des formules classiques sur les coefficients binomiaux (symétrie, comité-président, Pascal)
‚ Démonstration combinatoire de la formule du binôme.
4. Bijection, déesse de la combinatoire
‚ Exemples de dénombrements bijectifs (principe du kangourou, de l’accordéon).
5. Preuves combinatoires d’identités
‚ Méthode. Importance du choix du modèle.
‚ Exemples :ř
k
`n
k
˘, Vandermonde, Sommationř
k
`n`k k
˘, Vandermonde renverséeř
k
`k
N
˘`n´k M
˘.
‚ Exemple de somme avce signe alternéř
kp´1qk`n
k
˘. Principe de l’interrupteur.
Chapitre 23 : Espaces vectoriels
NOUS NE TERMINERONS LES EXERCICES SUR CE CHAPITRE QUE LUNDI.
1. Notion d’espace vectoriel
‚ Définition et généralités
˚ Définition, propriétés0¨x,λ¨0,p´1q ¨x. Terminologie adaptée (vecteurs, scalaires)
˚ Combinaisons linéaires.
˚ Espace de référence : fonctionsEF lorsqueE est unK-ev. En particulier si E“K.
˚ Kn,KnrXs...
˚ Produit cartésien deK-ev
‚ Sous-espaces vectoriels
˚ Définition. Caractérisation.
˚ Exemples importants :KrXs,CnpI,Rq...
˚ Droite vectorielle. Deux droites vectorielles deEsoit ont une intersection réduite àt0u, soit sont confon- dues.
˚ Description des sev deR2 (étude élémentaire avec les moyens du bord)
˚ Intersection de sev
˚ VectpXq: définition par minimalité, description par CL.
‚ Sommes
˚ Sommes de 2 sev, d’un nombre fini de sev
˚ VectpXYYq “VectpXq `VectpYq
˚ Somme directe de 2 sev, d’un nombre fini de sev.
˚ Caractérisation de la somme directe par unicité de la décomposition.
˚ Supplémentaire.
˚ Avec axiome du choix : existence d’un supplémentaire (démonstration non exigible) 2. Familles de vecteurs
‚ Familles libres, caractérisation par unicité de la décomposition, par la somme directeÀ
Kxi. Famille liée.
‚ Préservation de la liberté par restiction. CNS pour que l’ajout d’un vecteur préserve la liberté.
‚ Famille libre maximale.
‚ Familles génératrices
‚ Stabilité par ajout, CNS pour préserver le caractère générateur en ôtant un vecteur.
‚ Famille génératrice minimale.
‚ Base. Caractérisation par minimalité pour une famille libre ou maximalité pour une famille génératrice.
‚ Exemples importants (bc deKn, de KrXs, famille échelonnée en degrés dans KrXs) 3. Dimension finie
‚ Théorie de la dimension
˚ Définition d’un espace de dimension finie. Extraction d’une famille génératrice finie de toute famille génératrice.
˚ Théorème de la base incomplète (version forte) : on peut compléter toute famille libre en une base par ajout de vecteurs d’une famille génératrice donnée.
˚ Corollaire : thm de la base extraite (extraction d’une base d’une famille génératrice), de la base incomplète (possibilité de compléter toute famille libre en une base) ; Corollaire : existence d’une base finie.
˚ Théorème d’échange
˚ Théorème de la dimension. Définition de la dimension.
˚ Dimension d’un produit cartésien.
‚ Rang d’une famille de vecteurs
˚ Définition du rang d’une famille. Majoration du rang par le cardinal, cas d’égalité.
˚ Majoration du cardinal d’une famille libre, minoration du cardinal d’une famille génératrice. Caractéri- sation des bases par liberté et cardinal ; de même pour les familles génératrices.
‚ Dimension de sous-espaces vectoriels
˚ Un sev deEde dimension finie est aussi de dimension finie ; Inégalité sur les dimensions et cas d’égalité.
˚ Dimension d’une somme directe de 2 sev, de nsev
˚ Existence (sans AC) et dimension d’un supplémentaire en dimension finie.
˚ Formule de Grassmann.
˚ Majoration de la dimension d’une somme densev.
˚ Avertissement : ne pas généraliser la formule de Grassmann par analogie avec la formule du crible de Poincaré.
Chapitre 24 : Applications linéaires
UNIQUEMENT LE COURS. PAS D’EXERCICE CETTE SEMAINE SUR CE CHAPITRE.
1. Généralités
‚ Définition, respect du neutre, caractérisation par conservation des CL
‚ Exemples. En particulier l’exemple générique X ÞÑ M X, M étant une matrice (le calcul matriciel est vaguement connu, mais le cours sur les matrices n’a pas encore eu lieu)
‚ NotationLpE, Fq. Structure d’ev deLpE, Fq.
‚ Composée de deux AL. Bilinéarité de la composition.
‚ Images directes et réciproques de sev.
‚ Noyau et image d’une AL. Ce sont des sev deE etF respectivement.
‚ Caractérisation de l’injectivité.
‚ Comment obtenir une famille génératrice de Impfq à partir d’une famille génératrice de E. Cas de f P LpKp,Knqdéfini par une matrice.
‚ Isomorphisme. Réciproque d’un isomorphisme (démonstration non refaite, on avait justifié cette propriété dans une situation générale, pour une structure munie d’un certain nombre de lois).
‚ Endomorphismes. NotationLpEq, structure d’algèbre. Endomorphismes nilpotents.
‚ Polynômes d’endomorphisme. pP Qqpuq “Ppuq ˝Qpuq. Polynôme annulateur, polynôme minimal (HP en sup). Existence.
‚ Automorphismes,GLpEq, structure de groupe.
2. Projecteurs et symétries
‚ Définitions algébriques (par polynôme annulateur)
‚ Définition des projections et symétries géométriques (vectorielles).
‚ Caractérisation des éléments de l’image d’un projecteur.
‚ Caractérisation géométrique des projecteurs et des symétries 3. Applications linéaires et familles de vecteurs
‚ Détermination d’une AL par l’image d’une base (propriété de rigidité)
‚ Exemple : base deLpE, Fqadaptée à des bases deEet de F. Dimension deLpE, Fq.
‚ Caractérisation de l’injectivité par l’image de toutes les familles libre, ou par l’image d’une base (sous reserve d’existence d’une base, ce qui est assuré en dimension finie, ou de façon générale en admettant l’AC).
‚ Caractérisation de la surjectivité par l’image de toutes les familles génératrices, ou par l’image d’une base (sous reserve d’existence d’une base).
‚ Caractérisation de la bijectivité par l’image d’une base
‚ Comparaison des dimensions d’espaces isomorphes.
‚ Détermination d’une AL par restriction à des sous-espaces décomposantE en somme directe.
4. Applications linéaires en dimension finie
‚ Rang d’une AL, majoration pardimE et dimF, cas d’égalité, pour chacune des deux majorations.
‚ Caractérisation des isomorphismes en dimension finie.
‚ La composition diminue le rang. Cas d’égalité. Invariance du rang par composition par un isomorphisme.
‚ Noyau d’une restriction.
‚ SiS est un supplémentaire de Kerpfq, f˜:SÑImpfqest un isomorphisme.
‚ Théorème du rang.
5. Formes linéaires
‚ Forme linéaire. Espace dual.
‚ Hyperlplan. Caractérisation par la dimension (en dimension finie). Caractérisation par la codimension i.e.
par l’existence d’un supplémentaire de dimension 1.
‚ Comparaison de deux équations deH : siH “Kerpϕq, alorsH “Kerpψq ðñψPVectpϕqzt0u.
‚ Minoration de la dimension de l’intersection d’hyperplans.
‚ (en dim finie) Tout sev de codimensionms’écrit comme intersection demhyperplan.
