Probl`eme de correspondance de Post

(1)

Donn´ee: u1, . . . ,un,v1, . . . ,vn ∈Σ^∗

Question: ∃k,∃i₁, . . . ,i_k.u_i₁· · ·u_i_k =v_i₁· · ·v_i_k

(2)

Probl`eme de correspondance de Post modifi´e

Donn´ee: u1, . . . ,un,v1, . . . ,vn ∈Σ^∗

Question: ∃k,∃i₁, . . . ,i_k.u_i₁· · ·u_i_k =v_i₁· · ·v_i_k eti₁ = 1

Théorème: PCP modifié est indécidable

Preuve: On réduit le problème de l’arrêt sur le mot vide d’une machine de Turing qui efface son entrée quand elle s’est arrêtée.

(3)

Donn´ee: u1, . . . ,un,v1, . . . ,vn ∈Σ^∗

Question: ∃k,∃i₁, . . . ,i_k.u_i₁· · ·u_i_k =v_i₁· · ·v_i_k eti₁ = 1 Théorème: PCP modifié est indécidable

(4)

Donn´ee: u1, . . . ,un,v1, . . . ,vn ∈Σ^∗

Question: ∃k,∃i₁, . . . ,i_k.u_i₁· · ·u_i_k =v_i₁· · ·v_i_k eti₁ = 1 Théorème: PCP modifié est indécidable

(5)

La r´eduction sur un exemple

M :

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B q_e,0,→ q_e,B,←

0 q_e,B,←

Calcul sur:

q0$ ` $q0 ` $0qe ` $qe0 ` qe$ ` accept$

(6)

M :

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B q_e,0,→ q_e,B,←

0 q_e,B,←

Calcul sur:

q0$ ` $q0 ` $0qe ` $qe0 ` qe$ ` accept$

(7)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0} 6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

Calcul sur: q0$`$q0 ` $0qe ` $qe0` qe$ `accept$

i

1 2 7.? 7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u

qe$? B

v

qe$?B

(8)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0} 6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i

1 2 7.? 7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u

qe$? B

v

qe$?B

(9)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i

1 2 7.? 7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u

qe$? B

v

qe$?B

(10)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i

1 2 7.? 7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u

qe$? B

v

qe$?B

(11)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1

2 7.? 7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u Cq0$?

qe$? B

v C

qe$?B

(12)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1

2 7.? 7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u Cq0$?

qe$? B

v C

qe$?B

(13)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1

2 7.? 7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u Cq0$?

qe$? B

v C q0$

qe$?B

(14)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2

7.? 7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u Cq0$?

qe$? B

v C q0$

qe$?B

(15)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2

7.? 7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u Cq0$? $q0

qe$? B

v C q0$

qe$?B

(16)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2

7.? 7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u C q0$? $q0

qe$? B

v C q0$

qe$?B

(17)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2

7.? 7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u C q0$? $q0

qe$? B

v C q0$ ?

qe$?B

(18)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.?

7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u C q0$? $q0

qe$? B

v C q0$ ?

qe$?B

(19)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.?

7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u C q0$? $q0 ?

qe$? B

v C q0$ ?

qe$?B

(20)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.?

7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u C q0$ ? $q0 ?

qe$? B

v C q0$ ?

qe$?B

(21)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.?

7.$ 3 7.$ 4 5.$ 6

u C q0$ ? $q0 ?

qe$? B

v C q0$ ? $

qe$?B

(22)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$

3 7.$ 4 5.$ 6

u C q0$ ? $q0 ?

qe$? B

v C q0$ ? $

qe$?B

(23)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$

3 7.$ 4 5.$ 6

u C q0$ ? $q0 ? $

qe$? B

v C q0$ ? $

qe$?B

(24)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$

3 7.$ 4 5.$ 6

u C q0$ ? $q0 ? $

qe$? B

v C q0$ ? $

qe$?B

(25)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$

3 7.$ 4 5.$ 6

u C q0$ ? $q0 ? $

qe$? B

v C q0$ ? $ q0?

qe$?B

(26)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$ 3

7.$ 4 5.$ 6

u C q0$ ? $q0 ? $

qe$? B

v C q0$ ? $ q0?

qe$?B

(27)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$ 3

7.$ 4 5.$ 6

u C q0$ ? $q0 ? $ 0qe?

qe$? B

v C q0$ ? $ q0?

qe$?B

(28)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$ 3

7.$ 4 5.$ 6

u C q0$ ? $ q0 ? $ 0qe?

qe$? B

v C q0$ ? $ q0?

qe$?B

(29)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$ 3

7.$ 4 5.$ 6

u C q0$ ? $ q0 ? $ 0qe?

qe$? B

v C q0$ ? $ q0? $

qe$?B

(30)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$ 3 7.$

4 5.$ 6

u C q0$ ? $ q0 ? $ 0qe?

qe$? B

v C q0$ ? $ q0? $

qe$?B

(31)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$ 3 7.$

4 5.$ 6

u C q0$ ? $ q0 ? $ 0qe? $

qe$? B

v C q0$ ? $ q0? $

qe$?B

(32)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$ 3 7.$

4 5.$ 6

u C q0$ ? $ q0 ? $ 0qe? $

qe$? B

v C q0$ ? $ q0? $

qe$?B

(33)

M:

δ q0 qe

$ q0,$,→ accept,$,↓ B qe,0,→ qe,B,←

0 qe,B,←

i ui vi

1 Cq0$? C 2 $q0 q0$ 3 0qe? q0? 4 qe0? 0qe?

5.a qea? aqe0? a∈ {$,0}

6 B qe$?B

7.a a a a∈ {0,$,?}

i 1 2 7.? 7.$ 3 7.$

4 5.$ 6

u C q0$ ? $ q0 ? $ 0qe? $

qe$? B

v C q0$ ? $ q0? $ 0qe?

qe$?B