A rendre le vendredi 12 novembre 2012` 1 / 2
Devoir Maison 03
Exercice
On consid`ere la fonctionf d´efinie surRpar :
f(x) = e−xsinx
1. D´eterminerf0.
2. (a) D´emontrer que0admet une infinit´e d’ant´ec´edents parf0. (b) La fonctionf0 est-elle injective ?
(c) D´emontrer que ces ant´ec´edents sont en progression arithm´etique (c’est-`a-dire que la diff´erence entre deux ant´ec´edents cons´ecutifs est constante).
(d) D´emontrer que les ordonn´ees correspondantes parf sont en progression g´eom´etrique (c’est-`a-dire que le quotient entre deux images parf de deux ant´ec´edents cons´ecutifs est constant).
3. ´Etudier les variations de f sur l’intervalle[−π, π].
4. Donner l’allure des courbes repr´esentatives def etf0 sur l’intervalle[−π, π].
Probl` eme
Dans tout le probl`emeA etB sont deux points distincts et I d´esigne le milieu de[AB].
Le terme«triangle» d´esigne un triangle non aplati.
Partie A : deux m´ edianes perpendiculaires
L’objectif de cette premi`ere partie est de d´eterminer l’ensemble des pointsC tels que le triangleABC a ses m´edianes issues deA et deB perpendiculaires. On noteraP1 cette propri´et´e.
1. On consid`ere (dans cette premi`ere question uniquement) un triangleABC tel queAB= 1,AC =√ 2et BC=√
3. D´emontrer que le triangleABC v´erifieP1. 2. SoitC un point tel que le triangleABC v´erifieP1.
(a) D´emontrer queG, isobarycentre deA,B etC appartient `a un cercleC1que l’on pr´ecisera.
(b) En d´eduire queCappartient `a un cercleC2 que l’on pr´ecisera.
3. R´eciproquement, si Cappartient `aC2 alors le triangleABC v´erifie-t-ilP1?
Partie B : une relation dans un triangle
Soitm∈R. L’objectif de cette seconde partie est de d´eterminer l’ensemble des pointsCtels que le triangle ABC v´erifie la propri´et´eP2 :
AC2+BC2=m AB2
St´ephanePasserat– TSI1 – Lyc´ee LouisVincent
A rendre le vendredi 12 novembre 2012` 2 / 2
1. D´emontrer que le triangleABC v´erifieP2 si et seulement siC6∈(AB)et :
IC2=2m−1 4 AB2 2. (a) En d´eduire que sim∈
−∞,12
l’ensemble recherch´e est vide.
(b) En d´eduire ´egalement la nature de l’ensemble recherch´e sim∈1
2,+∞
. 3. D´emontrer que sim= 5 et si le triangleABC v´erifieP2 alors il v´erifieP1. 4. Quelle particularit´e a le triangleABC s’il v´erifieP2 avecm= 1?
St´ephanePasserat– TSI1 – Lyc´ee LouisVincent
