ANN´ EE UNIVERSITAIRE 2020/2021 UE 4TBX308U
Devoir surveill´e 1
Date : 02/10/20 Heure : 14h Dur´ee : 1h30 Documents et calculatrice : non autoris´es
Epreuve de M. Popoff. (sujet en recto-verso)
Question de cours : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies etu:E → F une application lin´eaire.
1. Enoncer le th´eor`eme du rang pour u.
2. On suppose ici que dim(E) = dim(F). D´emontrer que u est injectif si et seulement si il est surjectif.
3. On suppose ici que F = R. Donner les dimensions possibles de ker(u) (on d´emontrera le r´esultat).
Exo 1 : On dit qu’un endomorphisme s : E → E est une sym´etrie lorsque s◦s = Id, c’est-a-dire lorsque
∀x∈E, (s◦s)(x) =x.
1. On rappelle que les endomorphismes deRsont de la formeu(x) =ax, aveca∈R. Dans quels cas un endomorphisme de R est-il une sym´etrie ?
2. On se place dans cette question dans le cas E = R3, et on consid`ere l’endomorphisme u : R3 →R3 d´efinie par
u:
x y z
7→ 1 3
x−2y−2z
−2x+y−2z
−2x−2y+z
.
(a) Donner la matrice de udans la base canonique de R3. (b) En d´eduire que u est une sym´etrie deR3.
(c) Donner la trace de u.
(d) On consid`ere l’endomorphisme p:R3 →R3 d´efini par
p:
x y z
7→ 1 3
x+y+z x+y+z x+y+z
.
D´emontrer que pest un projecteur.
(e) Donner une base de Im(p), ainsi que sa dimension. De mˆeme pour ker(p). La fonction p est-elle bijective ?
(f) D´ecrire les restrictions de u `a Im(p) et ker(p).
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3. On revient au cas g´en´eral, et on notes une sym´etrie deE.
(a) Montrer que s est bijective, et exprimer s−1 en fonction de s.
(b) D´emontrer que ker(s+ Id) et ker(s−Id) sont en somme directe.
(c) Montrer que ces deux sous-espaces sont stables pars.
(d) D´emontrer que E = ker(s+ Id)L
ker(s−Id). En consid´erant la restriction des `a chacun de ces sous-espaces, interpr´etez g´eom´etriquement.
(e) On supppose queE est de dimension finie. Donner la matrice des dans une base adapt´ee
`
a la d´ecomposition ci-dessous. En d´eduire la trace de s en fonction des dimensions de ces sous-espaces.
Exo 2 : SoitS le sous ensemble deMn(R) form´e des matrices sym´etriques, c’est-`a-dire des matrices S ∈Mn(R) telles que
tS =S,
et A le sous ensemble de Mn(R) form´e des matrices antisym´etriques, c’est-`a-dire des matrices A ∈ Mn(R) telles que
tA=−A.
1. Pour une matriceM ∈Mn(R), on posef(M) =tM+M. Montrer quef est un endomorphisme deMn(R). Montrer ´egalement que A et S sont des sous-espaces vectoriels deMn(R).
2. (a) Montrer que A et S sont en somme directe.
(b) D´emontrer que Im(f) = S. D´eterminer ´egalement ker(f).
(c) En raisonnant sur dim(A+S), en d´eduire que S etA sont suppl´ementaires dans E.
3. On se donne M ∈Mn(R). Exhiber M1 ∈ S et M2 ∈ A, que l’on exprimera en fonction de M, tels que
M =M1+M2.
4. Question bonus : donner une base de S, et en d´eduire sa dimension. Faites de mˆeme pourA.
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