ANNÉE UNIVERSITAIRE 2018/2019 UE 4TBX308U

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Devoir terminal

Date : 15/12/18 Heure : 13h45 Durée : 3h Documents non autorisés

Epreuve de M. Popoff (sujet en recto-verso avec 3 pages)

Exercice 1 : On note A(m) la matrice, et (Ci)i=1,2,3 ses colonnes. Afin de simplifier les calculs du déterminant, on réalise les opérations C₂ → C₂ +C₁ et C₃ → C₃ −2C₁, qui ne changent pas sa valeur, et on obtient :

det(A(m)) =

1 0 0

m 1 −2

2 m+ 2 −3m−5 .

On développe par rapport à la première ligne, obtient det(A(m)) =

1 −2

m+ 2 −3m−5

=−3m−5 + 2(m+ 2) =−m−1.

Or A(m) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Ainsi, elle est inversible si et seulement si m 6=−1.

Exercice 2 : Soit n ∈N^∗, et soitE =R²ⁿ[X]. Soitu la fonction définie par u(P)(X) = (X²−1)P⁰(X)−2nXP(X).

1. Il est clair que u est linéaire. De plus, pour un entier k, on a

u(X^k) = (X²−1)kX^k−1−2nX^k+1 = (k−2n)X^k+1−kX^k−1.

En particulier, si k < 2n, on a u(X^k) ∈ Rk+1[X] ⊂ R2n[X]. Par ailleurs, on a u(X²ⁿ) =

−2nX²ⁿ⁻¹ ∈R²ⁿ[X]. Puisque (X^k)_k=0,...,2n forment une base deR²ⁿ[X] (notéeB) on a que u est bien un endomophisme de R2n[X], et sa matrice dans cette base est

Mat_B(u) =





















0 −1 0

−2n 0 −2 . ..

−2n+ 1 0 −3 . ..

. .. ... ... 0

−2 0 −2n

−1 0





















2. La trace de u est la trace de n’importe quelle matrice représentant u. D’après la question précédente, on déduit tr(u) = 0.

3. Un calcul de dérivée montre que

u(P_k) = (X+ 1)(X−1) α(X−1)^α−1(X+ 1)^β +β(X−1)^α(X+ 1)^β−1

−2nX(X−1)^α(X+ 1)^β

= (X−1)^α(X+ 1)^β(α(X+ 1) +β(X−1)−2nX) = ((α+β−2n)X+α−β)P_k Ainsi, Pk est un vecteur propre si et seulement si il existe λ ∈ R tel que u(Pk) = λPk, c’est-à-dire si et seulement si α+β−2n = 0, et on a alors λ =α−β.

4. D’aprés la question précédente, chaque couple(α, β)d’entiers tels queα+β= 2n fournit une valeur propre α−β = 2α−2n. Puisque α peut prendre toute les valeurs entre 0 et 2n, cela montre que u a au moins 2n + 1 valeurs propres distinctes. Puisque la dimension de E est 2n+ 1, on déduit que u est diagonalisable.

Exercice 3 :Pourn≥1, on noteE =M_n(R)l’ensemble des matrices carrées de taillen, etS_n(R) le sous-ensemble deE contenant les matrices symétriques. On note E_ij la matrice “élémentaire” dont le coefficient (i, j) vaut 1, et les autres valent 0. On rappelle que ces matrices forment une base de M_n(R).

1. (a) On a ^tEij =Eji. Ainsi ^tEij =Eij si et seulement si i=j.

(b) Soit M ∈S_n(R), de coefficients (a_i,j), on a en particulier a_i,j =a_j,i, et donc

M = X

(i,j)∈[|1,n|]²

a_i,jE_ij =X

i<j

a_i,jE_ij +X

i=j

a_i,jE_ij +X

i>j

a_i,jE_ij

=X

i<j

a_i,j(E_ij +E_ji) +X

i

a_iiE_ii.

Ainsi la famille

F ={E_ij+E_ji,1≤i < j≤n} ∪ {E_ii,1≤i≤n}

est une famille génératrice de Sn(R). De plus, si X

i<j

a_i,j(E_ij +E_ji) +X

i

a_iiE_ii= 0,

alors puisque (E_ij)_i,j forment une famille libre, on a nécessairement a_i,j = 0 pour i < j ainsi que ai,i = 0 pour i entre 1 et n. Ainsi, F est une base de Sn(R). Il y a exactement

n(n−1)

2 couples (i, j) tels que 1≤i < j ≤n (il s’agit du nombre de coefficients strictement sous la diagonale dans une matrice carrée de taille n), ajoutés aux nombres ientre 1 et n, on obtient

dimS_n(R) = #F = n(n−1)

2 +n = n(n+ 1) 2 (c) Soit M ∈E, on écrit

M = M+ ^tM

2 +M − ^tM

2 .

La première fraction est clairement une matrice dans S_n(R), tandis que la deuxième est dans A_n(R). Ceci prouve que

E =S_n(R) +A_n(R).

Soit de plus M ∈S_n(R)∩A_n(R), alors^tM =M =−M, et donc M = 0. Ceci prouve que la somme est directe, et donc que

E =S_n(R)M

A_n(R).

2. (a) Vu en TD.

(b) Vu en TD.

(c) On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

|tr(M)|=|φ(I_n, M)| ≤p

φ(I_n, I_n)p

φ(M, M) =√ n

s X

1≤i,j≤n

m²_ij.

On a égalité si et seulement si M et I_n sont liés, c’est-à-dire si et seulement si M est la matrice d’une homothétie.

(d) Soient M etN deux matrices carrées de M_n(R) etα ∈R, alors

uA(αM+N) = tr(A(αM+N)) = tr(αAM+AN) = αtr(AM)+tr(AN) =αuA(M)+uA(N).

Donc u_A est linéaire. De plus, l’application u_A est à valeurs réelles. C’est donc une forme linéaire deE. L’espace vectoriel vect(A) est de dimension 1, la dimension de vect(A)^⊥ est donc dim(Mn(R))−1d’après le cours, donc n²−1.

(e) L’applicationF :A 7→u_A définit une application deE dans son dualE^∗. Montrons qu’elle est linéaire : soient A etB deux matrices carrées de M_n(R) et α∈R, alors

∀M ∈Mn(R), uαA+B(M) = tr((αA+B)M) =αtr(AM) + tr(BM) = αuA(M) +uB(M) Cela montre que F(αA+B) =αF(A) +F(B), donc queF est linéaire. Supposons de plus que F(A) = 0, cela veut dire

∀M ∈E, tr(AM) = 0.

En particulier si M = ^tA, cela implique φ(A, A) = 0, et donc A = 0 puisque φ est un produit scalaire. Donc F est injective.

(f) L’appliation linéaire F :E → E^∗ est injective. Puisque dimE = dimE^∗, elle est bijective d’après le cours. Donc pour toute forme linéaire ψ ∈ E^∗, il existe une unique matrice A∈E telle que ψ =F(A), ce qui veut bien dire

∀M ∈E, ψ(M) = tr(AM)

Exercice 4 : On considère le système d’équations différentielles







x⁰ = 2x+y y⁰ = x+ 2y z⁰ = z

(1) 1. On a

A=





2 1 0 1 2 0 0 0 1





La matrice A est symétrique. Elle est donc diagonalisable d’après le cours.

2. Un calcul par bloc montre que

χ_A(X) = ((X−2)²−1)(X−1) = (X−3)(X−1)².

Les valeurs propres deA sont donc 1 et 3. On cherche les sous-espaces propres associés :

• λ= 3. On résoutAX =X. On aboutit à







2x+y= 3x x+ 2y= 3y

z = 3z

donc à y = x et z = 0. On déduit que ce sous-espace est de dimension 1, et qu’il est engendré par le vecteur v1 =



 1 1 0



.

• λ= 1. On résoutAX =X. On aboutit à







2x+y=x x+ 2y =y

z =z

donc ày =−x. On déduit que ce sous-espace est de dimension 2, et qu’il est engendré par les vecteur v₂ =



 1

−1 0



et v₃ =



 0 0 1



.

Ainsi, (v₁, v₂, v₃) forme une base de vecteurs propres. Si on pose P =





1 1 0

1 −1 0

0 0 1



 et D=





3 0 0 0 1 0 0 0 1





alors on a A=P DP⁻¹. Pour calculer P⁻¹, on peut inverserP par blocs : P⁻¹ = 1

2





1 1 0

1 −1 0

0 0 2





Remarque : On pouvait aussi noter que ^√1₂P est une matrice orthogonale, et utiliser sa trans- posée pour inverserP.

3. On peut utiliser une exponentielle de matrice. On calcule exp(tA) = exp(P tDP⁻¹) =P exp(tD)P⁻¹ =P





e^3t 0 0 0 e^t 0 0 0 e^t



P⁻¹

= 1 2





e^3t+e^t e^3t−e^t 0 e^3t−e^t e^3t+e^t 0

0 0 2e^t





D’après le cours, les solutions du système sont donc la forme exp(tA)X(0).

4. On utilise la question précédente : les solutions du système sont de la formeX(t) = exp(tA)X(0),

donc 













x(t) = 1

2(e^t+e^3t) y(t) = 1

2(e^3t−e^t) z(t) = e^t

5. Un calcul direct donne

E(t) = 3

2e^2t+1 2e^6t. Exercice 5 : Polynôme annulateur d’une matrice carrée.

1. Soit M une matrice carrée de M_n(R) (n≥1).

(a) Rappelons que n² = dim(Mn(R). Pour p > n², la famille (I, M, M², . . . , M^p) est une famille composée de plus d’éléments que la dimension, elle est donc liée. Notons qu’on peut trouver p=n en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton.

(b) Soit p l’entier de la question précédente, et des(α_i)_i=0,...,p tels que

p

X

i=1

α_iMⁱ = 0.

On introduit le polynôme

P(X) =

p

X

i=1

α_iXⁱ.

Alors la relation précédente assure queP(M) = 0, donc queP est un polynôme annulateur deM.

2. On note F l’ensemble des matrices de M_n(R) admettant le polynôme P(X) = X²−3X + 2 comme polynôme annulateur.

(a) La matrice I est clairement dans F.

(b) Notons que P(X) = (X−1)(X−2). Ainsi si (A−I) est inversible,

P(A) = 0 ⇐⇒ (A−I)(A−2I) = 0 ⇐⇒ A−2I = 0 ⇐⇒ A= 2I De même, si A−2I est inversible et que M ∈ F, alors A=I.

(c) Une matrice A dans F admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, elle est donc diagonalisable, et son spectre est contenu dans les racines deP, donc dans{1,2}. Par ailleurs, par hypothèses, 1 et 2 sont valeurs propres. Ainsi A est semblable à une matrice diagonale avec des 1 et des 2 sur sa diagonale.