ANN´ EE UNIVERSITAIRE 2020/2021 UE 4TBX308U
Devoir surveill´e 2
Date : 27/11/20 Heure : 14h Dur´ee : 1h30 Documents et calculatrice : non autoris´es
Epreuve de M. Popoff. (sujet en recto-verso)
Exo 1 : On consid`ere une suite r´ecurrente `a trois termes un+3 =aun+bun+1+cun+2
o`u (a, b, c) sont trois nombres r´eels. On compl`ete cette suite par la donn´ee des premiers termes (u0, u1, u2).
1. Pour n ≥0, on introduit le vecteur
Xn =
un un+1 un+2
Montrer que Xn v´erifie une relation de r´ecurrence Xn+1 =AXn o`u A est une matrice que l’on pr´ecisera.
2. En d´eduire l’expression deXn en fonction de n, A et X0.
3. D´emontrer queAa au moins une valeur propre r´eelle (on pourra utiliser des propri´et´es deχA, en exploitant en particulier son degr´e).
4. Soitλune valeur propre r´eelle deA. On suppose que
u0
u1 u2
est un vecteur propre deAassoci´e
`
aλ. Donner l’expression deun en fonction de λ et des donn´ees initiales.
5. Dans cette question, on consid`ere le cas particulier de la suite un+3 =un+2+ 4un+1−4un.
(a) Calculer dans ce cas-l`a le polynˆome caract´eristique χA, et montrer qu’il poss`ede trois racines.
(b) Monter que la matrice est diagonalisable surR, et donner une matrice P ∈GL3(R), ainsi qu’une matrice diagonale D∈M3(R), telles que
A=P DP−1.
(c) En d´eduire la valeur explicite de An puis de un, lorsque les conditions initiales sont u0 = 0, u1 = 1 et u2 = 0.
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Exo 2 : On consid`ere une matrice sym´etrique de M2(R), c’est-`a-dire de la forme M =
a b b d
1. Calculer le discriminant de χA en fonction de a, b etd et montrer qu’il est positif ou nul.
2. En d´eduire que χA est scind´e, et donner les multiplicit´es de ses racines (on prendra soin `a distinguer plusieurs cas). En d´eduire que M est diagonalisable sur R.
3. On va ´etudier la mˆeme question pour des matrices sym´etriques `a coefficients complexes.
(a) Etudier les valeurs propres et les espaces propres de la matrice 1 i
i −1
et en d´eduire qu’elle n’est pas diagonalisable surC.
(b) D´ecrire les nombres complexes a, b et ctels que la matrice M =
a b b d
soit diagonalisable sur C (on pourra reprendre l’analyse de la question 2).
Exo 3 : On consid`ere la fonction d´efinie sur Mn(R) par f(M) =M −tr(M)In. 1. Montrer que f est un endomorphisme de Mn(R).
2. Calculer f(In). Que peut-on en d´eduire ?
3. Pour une matriceM donn´ee, calculerf2(M) + (n−2)f(M). En d´eduire qu’il existe un scalaire α (que l’on pr´ecisera) tel que
f2+ (n−2)f =αId.
4. En d´eduire un polynˆome annulateur de f, puis que f est diagonalisable.
5. Donner la dimension de l’espace vectoriel {M ∈Mn(R),tr(M) = 0}(on pourra d´eterminer le rang de l’application ϕ:Mn(R)→R d´efinie par ϕ(M) = tr(M)).
6. Montrer que f a exactement deux valeurs propres, et donner la dimension des sous-espaces propres associ´es.
7. En d´eduire le polynˆome caract´eristique de f.
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