STAGE DE PR´E-RENTR´EE EN PCSI
STAGE DE RENTR´
EE PCSI 2019
MATH´
EMATIQUES
Mardi 27 Aout 2019 - Jour 1 - Analyse : ´
Etude de fonctions
Exercice 1.
On s’int´eresse au polynˆome P (x) = 3x2+ 6x − 9.
1. Donner les formes canonique et factoris´ee de ce polynˆome. 2. Donner le tableau de signe ainsi que sa repr´esentation graphique.
Exercice 2.
1. Faire une ´etude compl`ete de la fonction f d´efinie par f (x) = 2 ex− 1.
Tracer la courbe repr´esentative de f accompagn´ee de ses ´eventuelles asymptotes. 2. (a) Mˆemes questions avec la fonction g : x 7→ ln 1 − x
1 + x
.
(b) Montrer que l’´equation g(x) = −1 admet une unique solution α sur l’intervalle [0, 1[. (on ne cherchera pas `a r´esoudre cette ´equation).
(c) Trouver la valeur exacte de α.
Exercice 3.
Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes apr`es avoir pr´ecis´e l’ensemble de d´efinition : 1. f (x) = 3x + 1 2 2 . 2. g(x) = 1 (3x2+ 1)7. 3. h(t) =p2 + sin(t).
4. u(x) = v(5x − 4) o`u v est une fonction d´erivable sur R. 5. w(t) = (1 − t) cos 1 1 − t . Exercice 4.
D´emontrer les in´egalit´es « classiques » suivantes :
(Dites classiques car elles vous serviront souvent pendant ces deux ans bien que n’´etant pas au programme.) 1. ∀(a, b) ∈ R2, |ab| 6 a 2+ b2 2 . 2. ∀x ∈ R, ex> 1 + x. 3. ∀x ∈] − 1, +∞[, ln(1 + x) 6 x. 4. ∀x ∈ R, | sin(x)| 6 |x|
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Mercredi 28 Aout 2019 - Jour 2 - Trigonom´
etrie
Exercice 5.
1. Tracer un cercle trigonom´etrique et interpr´eter g´eom´etriquement sur ce cercle le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle θ donn´e (si vous ne savez pas pour la tangente allez voir le corrig´e plus tard ).
2. Compl´eter le tableau de valeurs remarquables ci-dessous.
0 π/6 π/4 π/3 π/2 π
sin x cos x tan x cotan x
3. (a) Exprimer en fonction de cos θ ou sin θ le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle θ + π. (b) En d´eduire une formule pour cos(θ + kπ) et sin(θ + kπ) avec k ∈ Z.
(c) Exprimer en fonction de cos θ ou sin θ le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle θ +π 2.
Exercice 6.
1. Rappeler les formules d’addition du sinus et du cosinus. 2. Rappeler les formules de duplication du sinus et du cosinus. 3. Calculer cos π
12. (Question subsidiaire : de deux fa¸cons diff´erentes.)
Exercice 7.
R´esoudre les ´equations suivantes d’inconnue x ∈ R : 1. 2 sin2(x) = 1
2. cos 2x −√3 sin 2x =√2
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Jeudi 29 Aout 2019 - Jour 3 - Nombres complexes
Exercice 8.
1. ´Ecrire sous forme alg´ebrique les nombres complexes (3 + 2i)(1 − i) − (2 + i)2 , (1 + i)5 et 9 − 4i 2 + i . 2. ´Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes −2i , 1 − i√3 , √3 + 3i et 1 + i
√ 3 √
3 + i .
Exercice 9.
1. Pour quelles valeurs de λ ∈ R, le nombre complexe z = (λ + i)(λ + 5 − i(λ − 7)) est-il r´eel ? 2. Pour quelles valeurs de n ∈ N, le nombre complexe (1 + i)n est-il r´eel ?
Exercice 10.
R´esoudre les ´equations suivantes dans C : 1. 2iz − z + 4 − i = z − i
2. 2z + (3 + i)z = 4 − i
En bonus : Des exercices plus difficiles
Exercice 11.
On s’int´eresse `a la suite d´efinie par ∀n ∈ N∗ , un= n
X
k=1
1 n + k . 1. Calculer les 3 premiers termes de cette suite.
2. D´emontrer que cette suite est minor´ee par 1
2 et major´ee par 1. 3. Montrer que la suite (un) converge.
(On peut d´emontrer que cette suite converge vers ln 2 mais vous n’avez pas encore les outils n´ecessaires.)
Exercice 12 (donn´e en oral de concours).
Soient n ∈ N∗ et (En) l’´equation xn+ xn−1+ . . . + x = 1.
1. Montrer que l’´equation (En) poss`ede une unique solution xn dans R+ et que xn∈ [0, 1].
2. Montrer que la suite (xn) converge.
3. D´eterminer la limite de la suite (xn).
Exercice 13.
Trouver toutes les fonctions f : N → N telles que :
∀(m, n) ∈ N2, f (m2+ n2) = f (m)2+ f (n)2
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Vendredi 30 Aout 2018 - Jour 4 - Suites
Exercice 14.
D´eterminer la limite des suites suivantes : 1. un= n2+ 1 1 + n + 3n2 2. vn= 1 + (−1)n√n n Exercice 15.
On s’int´eresse `a la suite d´efinie par (
un+1 = −
1 2un+ 3 u0 = −2
1. Calculer u1, u2. La suite (un) est-elle arithm´etique ? g´eom´etrique ?
2. Montrer que la suite d´efinie par vn= un− 2 est g´eom´etrique.
3. D´eterminer le terme g´en´eral de (vn) puis celui de (un).
4. Calculer Sn= n P k=0 uk en fonction de n. Exercice 16.
On s’int´eresse `a la suite d´efinie par un+1= f (un) o`u f : x 7→ 3 −
2
x et u0 = 3. 1. ´Etudier les variations de la fonction f .
2. D´eterminer les points fixes de f . (On dit qu’un r´eel x est un point fixe de f lorsque f (x) = x.) 3. D´emontrer que ∀n ∈ N, 2 6 un6 3.
4. ´Etudier les variations de la suite (un).
5. En d´eduire que cette suite converge et d´eterminer sa limite.
Exercice 17.
Montrer que la suite (un) d´efinie pour tout n ∈ N par
un= n X k=1 √ k2+ nk n3+ k2− k tend vers 0.