Etude d’un probl `eme elliptique non-lin ´eaire

MASTER Math´ematiques 2`eme ann´ee, 2011-2012, Marseille.

Sp´ecialit´e EDP et Calcul Scientifique.

Notes de cours autoris´ees - Dur´ee : 4h

A NALYSE N UM ERIQUE DES ´ EDP

Etude d’un probl `eme elliptique non-lin ´eaire

Partie I- R´esultat pr´eliminaire sur les op´erateurs non-lin´eaires monotones :

On se donne un espace de Hilbert V (son produit scalaire est not´e (., .) V ) et J : V → V un op´erateur a priori non lin´eaire. On suppose que J v´erifie

∃C 1 > 0, kJ(u 1 ) − J(u 2 )k V ≤ C 1 ku 1 − u 2 k V , ∀u 1 , u 2 ∈ V, (1)

∃α > 0, (J (u 1 ) − J (u 2 ), u 1 − u 2 ) V ≥ αku 1 − u 2 k ² _V , ∀u 1 , u 2 ∈ V. (2) Le but de cette partie est de montrer que J est bijectif et que son inverse est Lipschitzien.

1. Soit v ∈ V . Montrer qu’il existe ρ > 0 tel que l’application

ψ v : u ∈ V 7→ u − ρ(J (u) − v) ∈ V, soit contractante dans V .

2. En d´eduire que J est bijectif.

3. Montrer que J ⁻¹ v´erifie

kJ ⁻¹ (u 1 ) − J ⁻¹ (u 2 )k V ≤ 1

α ku 1 − u 2 k V . Partie II- Existence et unicit´e de la solution d’un probl`eme elliptique non-lin´eaire : On notera a · b le produit scalaire de deux vecteurs a, b ∈ R ^d et |a| = √

a · a la norme euclidienne associ´ee. On se donne :

• Une application ϕ : R ^d → R ^d v´erifiant les propri´et´es

|ϕ(ξ 1 ) − ϕ(ξ 2 )| ≤ Lip(ϕ)|ξ 1 − ξ 2 |, ∀ξ 1 , ξ 2 ∈ R ^d , (ϕ(ξ 1 ) − ϕ(ξ 2 )) · (ξ 1 − ξ 2 ) ≥ α|ξ 1 − ξ 2 | ² , ∀ξ 1 , ξ 2 ∈ R ^d .

• Une application ϕ 0 : R → R v´erifiant les propri´et´es

|ϕ 0 (s) − ϕ 0 (t)| ≤ Lip(ϕ 0 )|s − t|, ∀s, t ∈ R, ϕ 0 est croissante au sens large.

Soit Ω un ouvert born´e, r´egulier, connexe de R ^d (d = 2 ou d = 3). Pour une fonction f ∈ L ² (Ω) donn´ee, on s’int´eresse au probl`eme suivant : trouver une fonction u : Ω → R v´erifiant

( −div (ϕ(∇u)) + ϕ 0 (u) = f, dans Ω

u = 0, sur ∂Ω. (P )

On se place dans l’espace fonctionnel V = H ₀ ¹ (Ω). On note (., .) V (resp. k.k V ) le produit scalaire (resp. la norme) sur cet espace dont on rappelle la d´efinition

(u, v) V = Z

Ω

∇u · ∇v dx, kuk V = p

(u, u) V = k∇uk L

. (3)

On notera C P > 0 la constante de Poincar´e, c’est-`a-dire la plus petite constante pour laquelle l’in´egalit´e suivante est vraie

kuk L

≤ C P kuk V , ∀u ∈ V.

On introduit maintenant

a(u, v) = Z

Ω

ϕ(∇u) · ∇v dx + Z

Ω

ϕ 0 (u)v dx, ∀u, v ∈ V,

L(v) = Z

Ω

f v dx, ∀v ∈ V.

On prendra garde au fait que a n’est pas lin´eaire par rapport `a sa premi`ere variable !.

1. D´emontrer que a(u, v) est bien d´efinie pour tout u, v ∈ V et que pour tout u ∈ V , l’application v ∈ V 7→ a(u, v)

est continue.

2. Montrer qu’une fonction u ∈ H ₀ ¹ (Ω) est solution du probl`eme (P ) (au sens des distributions) si et seulement on a

a(u, v) = L(v), ∀v ∈ V. (4)

On va donc chercher `a montrer qu’il existe une unique solution u au probl`eme (4).

3. Montrer que pour tout u ∈ V , il existe un unique J(u) ∈ V tel que a(u, v) = (J (u), v) V , ∀v ∈ V.

4. Montrer que l’application J ainsi construite v´erifie (1) et (2) avec la constante C 1 = Lip(ϕ) + Lip(ϕ 0 )C _P ² . 5. Conclure.

Partie III- Approximation de Galerkin du probl`eme :

Soit V h un sous-espace de dimension finie de V . On consid`ere le probl`eme approch´e suivant : trouver u h ∈ V h tel que

a(u h , v h ) = L(v h ), ∀v h ∈ V h . (5) 1. Expliquer, sans n´ecessairement refaire tous les calculs, comment adapter ce qui a ´et´e fait dans la partie

pr´ec´edente pour montrer que le probl`eme (5) admet une unique solution dans V h . 2. D´emontrer que pour tout v h ∈ V h , on a

a(u, u − u h ) − a(u h , u − u h ) = a(u, u − v h ) − a(u h , u − v h ).

3. En d´eduire que l’on a

ku − u h k V ≤ Lip(ϕ) + Lip(ϕ 0 )C _P ²

α ku − v h k V .

Indication : on pourra r´ecrire la formule de la question pr´ec´edente `a l’aide de l’op´erateur J d´efini dans la partie 2.

4. En d´eduire que, si d(u, V h ) → 0 quand h → 0, alors on a u h −−−→

h→0 u, dans V .

5. Soit (ψ i ) 1≤i≤N

une base de V h . On cherche la solution u h sous la forme u h = P _N

i=1 u i ψ i . Ecrire les

´equations satisfaites par les u i .

Quelle est la difficult´e nouvelle qui se pr´esente ici par rapport aux probl`emes ´etudi´es en cours ? Quelle m´ethode classique pourriez-vous envisager pour la r´esoudre ? On ne demande pas une r´eponse tr`es d´etaill´ee.

La derni`ere partie du probl`eme sera consacr´ee `a l’´etude d’une m´ethode it´erative adapt´ee `a la r´esolution de

ce probl`eme.

Partie IV- Approximation P ¹ en dimension 2. Estimations d’erreur a posteriori :

On suppose ici que Ω est un domaine polygonal de R ² et qu’on dispose d’une triangulation g´eom´etriquement conforme T = (K) K∈T . On consid`ere l’espace d’approximation de Galerkin suivant

V h = {v ∈ H ₀ ¹ (Ω), ∀K ∈ T , v _|K ∈ P ¹ }.

On introduit ´egalement l’espace

G h = {g ∈ (L ² (Ω)) ^d , ∀K ∈ T , g |K ∈ (P ⁰ ) ^d }, dont on remarquera qu’il v´erifie :

∇v h ∈ G h , ∀v h ∈ V h .

Les r´esultats de la partie pr´ec´edente donnent en particulier une borne de l’erreur d’approximation ku − u h k V en fonction de constantes ind´ependantes de h et de la quantit´e d(u, V h ). Cette derni`ere quantit´e d´epend de la solution u que l’on ne connaˆıt ´evidemment pas. On a vu en cours que si on suppose une certaine r´egularit´e pour u et pour la famille de maillages consid´er´es, alors on peut estimer d(u, V h ) en fonction de puissances de h et de normes ad´equates de u.

Dans cette partie du probl`eme on va essayer de trouver une borne pour l’erreur qui ne d´epende que de la solution approch´ee u h (et non pas de u). De sorte que, aux constantes universelles pr`es, cette borne sera effectivement calculable dans un code de calcul et donnera une id´ee a posteriori de l’erreur commise.

On notera E = (σ) σ∈E l’ensemble de toutes les arˆetes du maillage, E int l’ensemble des arˆetes int´erieures (i.e. qui ne sont pas sur le bord de Ω). On notera ´egalement E K l’ensemble des arˆetes d’un ´el´ement K. On notera h σ la longueur d’une arˆete σ ∈ E et h K le diam`etre de tout ´el´ement K ∈ T .

Pour toute arˆete int´erieure σ ∈ E int qui s´epare deux ´el´ements K et L, on note n K,σ (resp. n L,σ ) la normale sortante

`a K (resp. `a L) sur σ, de sorte que l’on a

n K,σ = −n L,σ . (6)

On rappelle la formule de Stokes suivante Z

K

(∇f ) dx = X

σ∈E K

Z

σ

f n K,σ dx,

pour toute fonction f : K → R r´eguli`ere.

Pour toute fonction g h ∈ G h , on introduit le saut dans la direction normale d´efini par Jg h K _σ = (g h ) _|K · n K,σ + (g h ) _|L · n L,σ ∈ R.

Il s’agit bien d’un terme de saut d’apr`es (6). On rappelle que g h est constant sur chaque ´el´ement du maillage, ce qui justifie la d´efinition ci-dessus.

On utilisera dans la suite l’existence d’un op´erateur d’interpolation I h : V → V h (par exemple construit selon la m´ethode de Scott-Zhang vue en cours) v´erifiant les propri´et´es suivantes (C > 0 ind´ependante de h)

I h (v h ) = v h , ∀v h ∈ V h , kI h vk V ≤ Ckvk V , ∀v ∈ V, X

K∈T

1

h ² _K kv − I h vk ² _L

(K) ≤ Ckvk ² _V . X

σ∈E

1 h σ

kv − I _h vk ² _L

(σ) ≤ Ckvk ² _V .

On introduit l’op´erateur d’interpolation P ⁰ d´efini, pour toute fonction v ∈ L ² (Ω) par (I _h ⁰ v) |K = 1

| K | Z

K

v(x) dx, ∀K ∈ T , et dont les propri´et´es ont ´et´e vues en cours.

Pour terminer l’introduction des notations, on notera

reg(T ) = sup

K∈T

h K

ρ K

,

la constante de r´egularit´e du maillage T (dans le cours celle-ci ´etait not´ee σ τ mais, ici, cette notation pourrait

engendrer des confusions avec celle utilis´ee ici pour d´esigner les arˆetes du maillage).

1. Soit v ∈ V quelconque. Montrer, en utilisant I h v comme fonction test dans le probl`eme (5), que l’on a a(u, v) − a(u h , v) = X

K∈T

µZ

K

(f − ϕ 0 (u h ))(v − I h v) dx

¶

− X

σ∈E

µZ

σ

Jϕ(∇u h )K _σ (v − I h v) dx

¶ .

2. En d´eduire que

ku − u h k ² _V ≤ C Ã X

K∈T

h ² _K kf − ϕ 0 (u h )k ² _L

(K) + X

σ∈E

h ² _σ Jϕ(∇u h )K ² _σ

!

. (7)

On a donc bien une majoration de l’erreur en fonction de quantit´es calculables `a partir des donn´ees du probl`eme (f , ϕ 0 et ϕ) et de la solution approch´ee u h . Pour l’instant rien ne nous dit que cette majoration n’est pas trop grossi`ere. On va montrer dans la suite que c¸a n’est pas le cas, au moins pour le premier des deux termes du membre de droite de (7). L’autre terme pourrait se traiter de mani`ere analogue mais on ne le fera pas ici.

3. On fixe dans toute la suite une fonction ˆ b de classe C ¹ , d´efinie sur le triangle de r´ef´erence K, et qui v´erifie ˆ 0 ≤ ˆ b ≤ 1,

Z

K ˆ

ˆ b dˆ x > 0,

ˆ b = 0, sur ∂ K. ˆ

Pour tout ´el´ement K ∈ T , on note T K : ˆ K → K la transformation affine qui envoie l’´el´ement de r´ef´erence sur K et on d´efinit maintenant la fonction b K par

b K =

( ˆ b ◦ (T K ) ⁻¹ , dans K,

0, en dehors de K.

(a) Montrer que b K est identiquement nulle sur ∂K . En d´eduire que b K ∈ H ₀ ¹ (Ω).

(b) Montrer que Z

K

∇b K dx = 0.

(c) Montrer qu’il existe C 1 > 0 ind´ependant de K telle que 0 ≤ b K ≤ 1, sur K, Z

K

b K (x) dx = C 1 |K|.

Montrer qu’il existe C 2 d´ependant seulement de reg(T ) telle que k∇b K k _L

_(K) ≤ C 2 |K| ^1/2

h K . (d) On note R h = f − ϕ 0 (u h ) ∈ L ² (Ω). On se fixe un K ∈ T .

i. Montrer que kR h k L

(K) ≤ kI _h ⁰ R h k L

(K) + kR h − I _h ⁰ R h k L

(K) . ii. Montrer que

C 1 kI _h ⁰ R h k ² _L

(K) ≤ (R h , b K I _h ⁰ R h ) + kR h − I _h ⁰ R h k L

(K) kI _h ⁰ R h k L

(K) . iii. En utilisant b K I _h ⁰ R h ∈ V comme fonction-test dans (4) et la d´efinition de R h , montrer que

(R h , b K I _h ⁰ R h ) = Z

K

(ϕ(∇u) − ϕ(∇u h )) · ∇(b K I _h ⁰ R h ) dx

+ Z

K

(ϕ ₀ (u) − ϕ ₀ (u _h ))b _K I _h ⁰ R _h dx.

iv. En d´eduire que

(R h , b K I _h ⁰ R h ) ≤ C

h K k∇(u − u h )k _L

_(K) kI _h ⁰ R h k _L

_(K) + Cku − u h k _L

_(K) kI _h ⁰ R h k _L

_(K) . v. D´eduire enfin de tout cela que

X

K∈T

h ² _K kR h k ² _L

(K) ≤ Cku − u h k ² _V + C X

K∈T

h ² _K kR h − I _h ⁰ R h k ² _L

(K) . (8)

(e) Si on fait un instant abstraction du dernier terme, l’in´egalit´e pr´ec´edente donne presque le r´esultat es- compt´e, c’est-`a-dire que le terme calculable P

K∈T h ² _K kR h k ² _L

(K) ne peut pas ˆetre beaucoup plus gros que le carr´e de l’erreur ku − u h k ² _V .

On suppose maintenant que f ∈ H ¹ (Ω) et que ϕ 0 est de classe C ¹ . Montrer que X

K∈T

h ² _K kR h − I _h ⁰ R h k ² _L

(K) ≤ C X

K∈T

h ⁴ _K (k∇f k ² _L

(K) + k∇u h k ² _L

(K) ).

Expliquer pourquoi on peut raisonnablement dire que le dernier terme dans (8) est n´egligeable devant le terme ku − u h k ² _V .

4. A partir du maillage T et de la solution approch´ee u h calcul´ee sur ce maillage. Comment construiriez-vous un nouveau maillage un peu plus fin sur lequel la nouvelle solution approch´ee serait probablement une meilleure approximation de la solution u ?

On ne demande pas une r´eponse tr`es d´etaill´ee.

Partie V- R´esolution par d´ecomposition-coordination :

Important : Dans cette derni`ere partie on suppose, pour simplifier un peu, que ϕ 0 = 0.

On se donne un nombre r > 0. On notera (u, v) = R

Ω uv dx le produit scalaire de L ² (Ω) (ou de (L ² (Ω)) ^d le cas

´ech´eant).

1. En guise de pr´eliminaire, d´emontrer que l’application g ∈ R ^d 7→ ϕ(g) + rg ∈ R ^d est bijective.

2. D´emontrer que u h ∈ V h est solution de (5) si et seulement s’il existe g h , λ h ∈ G h tels que

r(u h , v h ) V = (f, v h ) + (λ h + rg h , ∇v h ), ∀v h ∈ V h , (9) ϕ(g h ) + r(g h − ∇u h ) + λ h = 0, (10)

g h − ∇u h = 0, (11)

Montrer qu’il existe un unique triplet (u h , g h , λ h ) ∈ V h ×G h ×G h solution de ce nouveau syst`eme (9)-(10).

3. On propose une m´ethode it´erative pour r´esoudre les ´equations (9)-(11). On se donne g _h ⁰ , λ ⁰ _h ∈ G h (par exemple les fonctions nulles ...) et pour tout n ≥ 1, on d´efinit u ⁿ _h ∈ V h , g ⁿ _h , λ ⁿ _h ∈ G h par les ´equations

r(u ⁿ _h , v _h ) _V = (f, v _h ) + (λ ⁿ⁻¹ _h + rg ⁿ⁻¹ _h , ∇v _h ), ∀v _h ∈ V _h , (12) ϕ(g _h ⁿ ) + r(g _h ⁿ − ∇u ⁿ _h ) + λ ⁿ⁻¹ _h = 0, (13) λ ⁿ _h = λ ⁿ⁻¹ _h + r(g ⁿ _h − ∇u ⁿ _h ), (14) (a) Si u ⁿ⁻¹ _h , g ⁿ⁻¹ _h et λ ⁿ⁻¹ _h sont connus. Montrer qu’il existe un unique u ⁿ _h ∈ V h solution de (12). Quelle

est la nature du probl`eme discret que l’on doit r´esoudre dans cette ´etape. Commentez.

(b) La fonction u ⁿ _h ´etant maintenant calcul´ee, montrer qu’il existe un unique g _h ⁿ ∈ G h v´erifiant (13). On pourra raisonner ´el´ement par ´el´ement. Comment, en pratique, calculer g _h ⁿ ?

(c) Montrer enfin que (14) d´efinit bien un unique λ ⁿ _h dans G h .

4. On veut montrer que les suites (g ⁿ _h ) n , (λ ⁿ _h ) n et (u ⁿ _h ) n convergent respectivement vers g h , λ h et u h . Pour cela on pose

v ⁿ _h = u ⁿ _h − u h ,

µ ⁿ _h = λ ⁿ _h − λ h ,

δ ⁿ _h = g _h ⁿ − g h .

(a) Justifier la formule 1

2 kak ² _L

− 1

2 kbk ² _L

− 1

2 ka − bk ² _L

= (b, a − b), ∀a, b ∈ L ² (Ω), (15) puis montrer que

1

2r kµ ⁿ _h k ² _L

− 1

2r kµ ⁿ⁻¹ _h k ² _L

− (µ ⁿ⁻¹ _h , δ _h ⁿ − ∇v _h ⁿ ) − r

2 kδ _h ⁿ − ∇v ⁿ _h k ² _L

= 0.

(b) Montrer que

ϕ(g ⁿ _h ) − ϕ(g h ) + r(δ ⁿ _h − ∇v _h ⁿ ) + µ ⁿ⁻¹ _h = 0, et que

rk∇v ⁿ _h k ² _L

= (µ ⁿ⁻¹ _h + rδ ⁿ⁻¹ _h , ∇v _h ⁿ ).

En d´eduire que

(ϕ(g ⁿ _h ) − ϕ(g h ), g _h ⁿ − g h ) + rkδ ⁿ _h − ∇v _h ⁿ k ² _L

+ (µ ⁿ⁻¹ _h , δ _h ⁿ − ∇v ⁿ _h ) + r(δ _h ⁿ − δ ⁿ⁻¹ _h , ∇v _h ⁿ ) = 0.

(c) Montrer que

ϕ(g _h ⁿ ) − ϕ(g _h ⁿ⁻¹ ) + r(δ _h ⁿ − δ ⁿ⁻¹ _h ) + rδ ⁿ⁻¹ _h − r∇v ⁿ _h = 0.

En d´eduire que

(ϕ(g _h ⁿ ) − ϕ(g ⁿ⁻¹ _h ), g _h ⁿ − g _h ⁿ⁻¹ ) + rkδ ⁿ _h − δ ⁿ⁻¹ _h k ² _L

+ r(δ ⁿ⁻¹ _h , δ _h ⁿ − δ ⁿ⁻¹ _h ) − r(∇v ⁿ _h , δ ⁿ _h − δ _h ⁿ⁻¹ ) = 0.

(d) En utilisant `a nouveau (15) montrer que r

2 kδ ⁿ _h k ² _L

− r

2 kδ ⁿ⁻¹ _h k ² _L

+ r

2 kδ ⁿ _h −δ ⁿ⁻¹ _h k ² _L

+(ϕ(g _h ⁿ )−ϕ(g _h ⁿ⁻¹ ), g ⁿ _h −g _h ⁿ⁻¹ )−r(∇v _h ⁿ , δ _h ⁿ −δ _h ⁿ⁻¹ ) = 0.

(e) D´eduire de tout ce qui pr´ec`ede que 1

2 µ

rkδ _h ⁿ k ² _L

+ 1 r kµ ⁿ _h k ² _L

¶

− 1 2

µ

rkδ ⁿ⁻¹ _h k ² _L

+ 1

r kµ ⁿ⁻¹ _h k ² _L

¶

+ (ϕ(g ⁿ _h ) − ϕ(g _h ⁿ⁻¹ ), g ⁿ _h − g _h ⁿ⁻¹ ) + (ϕ(g ⁿ _h ) − ϕ(g h ), g _h ⁿ − g h ) + r

2 kδ _h ⁿ − δ ⁿ⁻¹ _h k ² _L

+ r

2 kδ ⁿ _h − ∇v _h ⁿ k ² _L

= 0.

(f) Montrer maintenant que la s´erie num´erique X

n≥1

(ϕ(g _h ⁿ ) − ϕ(g h ), g ⁿ _h − g h )

est convergente. En d´eduire que la suite (g ⁿ _h ) n converge vers g h dans G h . (g) Montrer que la s´erie num´erique X

n≥1

kδ _h ⁿ − ∇v _h ⁿ k ² _L

est convergente. En d´eduire que la suite (u ⁿ _h ) n converge vers u h dans H ₀ ¹ (Ω).

(h) Conclure enfin que (λ ⁿ _h ) n converge vers λ h .

5. Quels sont les avantages et inconv´enients de cette m´ethode it´erative par rapport aux m´ethodes de r´esolution du syst`eme (5) que vous avez ´eventuellement envisag´ees `a la fin de la partie III ?

F IN DU PROBL EME `