1 Etude du probl` ´ eme monodimensionnel

Ecole Polytechnique´ MAP431

Fr´ed´eric Serier Mini-Projet

serier@cmapx.polytechnique.fr Ann´ee 2006/2007

Diffusion en milieu p´eriodique

Nous nous int´eressons `a la diffusion de la chaleur dans un mat´eriau fibr´e.

Le mat´eriau occupe le domaine Ω := [0,1]×[0,1] deR².

La stucture du mat´eriau est un assemblage de lamelles de conductivit´e c₁ etc2 de petite ´epaisseur et dispos´ees alternativement dans le sensx1 . Pour cela, on choisi de repr´esenter la conductivit´e par une fonctionc_εd´efinie par

c_ε(x₁) =cx₁ ε

(1) o`uε∈]0,1[ est un petit param`etre etcest une fonction 1−p´eriodique donn´ee par

c(x₁) =

c₁ si 0≤x≤1/2

c₂ si 1/2< x≤1 (2)

Notons T^ε la temp´erature du mat´eriau. Nous cherchons `a ´etudier le probl`eme aux limites suivant :







−div

aε(x1) 0 0 a_ε(x₁)

∇T^ε(x₁, x₂)

=f(x₁, x₂), dans Ω T^ε= 0 sur∂Ω

(3) f ´etant la source de chaleur appliqu´ee au mat´eriau.

On supposera dans toute la suite que les constantes de conductivit´e c₁ etc2 sont telles que

0< c₁ ≤c₂ <∞. (4)

1 Etude du probl` ´ eme monodimensionnel

Dans cette section, nous supposons que la source de chaleur f et la temp´erature du mat´eriau T^ε sont ind´ependantes de x₂. Par cons´equent, nous sommes ammen´es `a r´esoudre le probl`eme aux limites suivant







− d dx1

aε(x1) d dx1

(T^ε(x1))

=f(x1), dans ]0,1[

T^ε(0) =T^ε(1) = 0

(5) 1. ´Etablir la formulation variationnelle de l’´equation (5), puis montrer l’existence et l’unicit´e de la solution de la formulation variationnelle.

2. En quel sens l’unique solution du probl`eme variationnel v´erifie-t’elle l’´equation diff´erentielle (5).

3. Montrer que la famille (T^ε)ε∈]0,1[est born´ee uniform´ement dansH₀¹(0,1) par rapport `a ε.

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2 Etude asymptotique ´

Dans le cadre de la section pr´ec´edente, nous cherchons `a d´eterminer si les solutionsT<sup>ε</sup> ont une limite quandεtend vers 0, de quelle mani`ere `a lieu cette convergence et comment est caract´eris´ee la limite.

Une suite (f_ε)_ε∈]0,1[ dansL²(0,1) est dite faiblement convergente vers f₀ dansL²(0,1) si pour tout g dansL²(0,1), nous avons

Z ₁

0

f_ε(t)g(t)dt−→

Z ₁

0

f₀(t)g(t)dt quandε→0.

1. Montrer que la suite de fonctions (a_ε)_εconverge faiblement dansL²(0,1) vers la moyenne [a] dea. Rappelons que

[a] = Z ₁

0

a(t)dt. (6)

(Indication : on pourra pour cela utiliser la densit´e des fonctions en escalier.)

2. `A l’aide d’un r´esultat de compacit´e, montrer qu’`a extraction de sous- suites pr`es, il existe un ´el´ement T^? dansH₀¹(0,1) tel queT^ε converge (fortement) vers T^? dans L²(0,1) et (T^ε)⁰ converge faiblement vers (T^?)⁰ dansL²(0,1).

3. Montrer que (T^ε)⁰ converge faiblement dans L²(0,1) vers la fonction x 7→ ₁

a

Rx

0 f(t)dt+k

; k ´etant une constante non n´ecessairement unique.

4. En d´eduire que T^? est l’unique solution de







− d dx

1 ₁

a

d

dx(T(x))

!

=f(x), dans ]0,1[

T(0) =T(1) = 0

(7)

D´eterminer T^?.

3 R´ esolution num´ erique

On consid`ere l’approximation par diff´erences finies

−a_ε(x_j+1)T_j+1^ε + [a_ε(x_j+1) +a_ε(xj−1)]T_j^ε−a_ε(xj−1)T_j−1^ε

(∆x)² =f(x_j) (8)

pour toutj= 1, . . . , N, avec xj =j∆x=j/(N + 1) etT₀^ε=T_N+1^ε = 0.

1. Montrer que le sch´ema (8) est consistant d’ordre 1. Donner une condi- tion n´ecessaire et suffisante pour qu’il soit d’ordre 2.

2

2. ´Ecrire le sch´ema sous la forme d’une ´equation matricielleA^ε_NT^ε_N =F_N. 3. On choisi de relier le pas de discr´etisation et le petit param`etre εen

posant

∆x=ε². (9)

Cela vous semble-t’il justifi´e ? Pourquoi ?

4. Mettre en oeuvre, avecScilab, le sch´ema pour les donn´ees suivantes : c1 = 1/5, c2= 7, f(x1) = 50 sinx1. (10) Observer la convergence des solutions vers la solutionT^∗et d´eterminer num´eriquement une estimation du type :

kT^ε−T^?k_L2(0,1)≤C(ε)kT^?k_L2(0,1). (11)

4 Etude du probl` ´ eme bidimensionnel

1. ´Etablir la formulation variationnelle de l’´equation (3), puis montrer l’existence et l’unicit´e de la solution de la formulation variationnelle.

2. En s’inspirant de l’´etude en dimension 1, d´eterminer formellement la limite quand εtend vers 0 du probl`eme (3).

3. Mettre en oeuvre, avecFreeFem++, la r´esolution du probl`eme 2D, com- parer avec le probl`eme limite (on pourra utiliser des repr´esentations 3D des solutions).

Observer l’influence du rapport entre la taille de la triangulation et la valeur du petit param`etre ε. Commenter.

Pour une taille adapt´ee de triangulation, d´eterminer num´eriquement une estimation du type de (11).

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