Sup PCSI2 — Contrˆole 2004/05
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge.
Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Probl` eme 1 : test de connaissances sur les fonctions
Q1 SoientI un intervalle deR. Donnez la d´efinition d’une fonction born´ee surI. Q2 ´Enoncez le th´eor`eme deRolle.
IRappel : soient I un intervalle de R, f une fonction de I dans R et k > 0. Nous dirons que f est k- lipschitzienne sur I si |f(x)−f(y)|6k|x−y|quels que soientx et y appartenant `aI. Dans ce cas, nous pourrons (pour abr´eger la r´edaction) ´ecrire quek>0 est une constante deLipschitzacceptable pourf sur I. Nous dirons quef est lipschitzienne surI s’il existek>0 tel quef soitk-lipschitzienne surI.
IVoici des assertions au sujet de fonctions deRdansR. Pour chacune d’elles, il vous faut dire si elle est vraie (preuve d´etaill´ee `a l’appui) ou fausse (en exhibant un contre-exemple, et en expliquant pourquoi il convient).
Q3 Sif et gsont strictement monotones, alorsf −gest strictement monotone.
Q4 Sif et f gsont continues, alorsgest continue.
Q5 Sif et gsont croissantes, alorsf gest croissante.
Q6 Sif et gsont lipschitziennes, alorsf−g est lipschitzienne.
Q7 Sif(x) est uno g(x)
lorsquex tend vers +∞, alorsef(x)est uno eg(x)
lorsquex tend vers +∞.
Q8 Si sin f(x)
−−−−→
x→+∞ 0, alorsf(x)−−−−→
x→+∞ 0.
Q9 Si arctan f(x)
−−−−→
x→+∞ 0, alorsf(x)−−−−→
x→+∞ 0.
Q10 Sif est d´erivable et born´ee, alorsf0 est ´egalement born´ee.
Q11 Sif est continue et p´eriodique, alors toutes ses primitives sont p´eriodiques.
Q12 Sif est d´erivable et p´eriodique, alorsf0 est p´eriodique.
Q13 Sif est lipschitzienne, alors elle est continue.
Q14 Sif est continue, alors elle est lipschitzienne.
Q15 Sif est lipschitzienne, alors elle est d´erivable.
Q16 Sif est d´erivable, alors elle est lipschitzienne.
Q17 Sif2(x) +f(x)−−−−→
x→+∞ +∞, alorsf(x)−−−−→
x→+∞ +∞.
Tournez S.V.P.
Probl` eme 2
IPour n ∈ N, nous noteronsA(n) = Z π/2
0
cosn(x)dx. Rappel : cosn(x) d´esigne cos(x)n
; si n = 0, cette expression vaut 1, y compris lorsque cos(x) est nul.
Q1 CalculezA(0) etA(1).
Q2 Quel est le signe deA(n) ?
Q3 Quel est le sens de variation de la suite de terme g´en´eralA(n) ? Q4 Pourn∈N, ´etablissez la relationA(n+ 2) = n+ 1
n+ 2A(n).
Q5 D´eduisez des r´esultats pr´ec´edents la formuleA(2p) = (2p)!
22p(p!)2 ×π
2 pour p∈N. Q6 ?? Etablissez une formule analogue pour´ A(2p+ 1).
Q7 Pourn∈N, ´etablissez l’encadrement 16 A(n+ 1)
A(n+ 2) 6 A(n) A(n+ 2). Q8 En d´eduire la limite de la suite de terme g´en´eral A(n)
A(n+ 1).
Q9 Montrez que la suite de terme g´en´eral (n+ 1)A(n)A(n+ 1) est constante.
Q10 D´eduisez des r´esultats pr´ec´edents la convergence et la limite de la suite de terme g´en´eralnA(n)2. Q11 Donnez un ´equivalentsimpledeA(n) lorsquentend vers l’infini.
IPourn>1, notonsSn = X
16k6n
1 k2. Q12 Pourp>1, ´etablissez l’encadrement 1
(p+ 1)2 6 1 p− 1
p+ 1 6 1 p2.
Q13 En d´eduire la convergence de la suite (Sn)n>1et un encadrement de sa limite `.
ILes int´egrations par parties doivent ˆetre soigneusement justifi´ees.
Q14 Pourk>1, calculez l’int´egraleIk= Z 1
0
x(x−1)
2 cos(2kπx)dx.
Q15 ?? Soitg∈ C1 [0,1],R
. Prouvez l’existence deb>0 tel que
Z 1
0
g(x) sin(2nπx)dx
6 b n. Q16 ?? Soient n>1 etx∈]0,1[. Prouvez l’´egalit´e 2 X
16k6n
cos(2kπx) = cotan(πx) sin(2nπx) + cos(2nπx)−1.
INotonsf : x∈]0,1[7→ x(x−1)
2 cotan(πx).
Q17 Montrez quef est prolongeable par continuit´e `a droite de 0.
Q18 Montrezrapidementquef est prolongeable par continuit´e `a gauche de 1.
INous noterons encoref la fonction ainsi prolong´ee.
Q19 ? ? ? Montrez quef est de classeC1 sur [0,1].
Q20 ?? Pourn>1, prouvez l’´egalit´e suivante :
2 X
16k6n
Ik= Z 1
0
f(x) sin(2nπx)dx+In− Z 1
0
x(x−1)
2 dx
Attention: la fonction cotan n’est d´efinie ni en 0, ni en π.
Q21 En d´eduire la valeur de`.
[Contr^ole 2004/05] Compos´e le 13 janvier 2005
