D133 Le balayage du triangle équilatéral [*** à la main]
Solution de Daniel Collignon :
Il n’est pas très difficile de montrer qu’un segment contenant le centre du triangle et ayant ses extrémités sur les côtés de ABC est de longueur minimale ssi il est parallèle à l’un des trois côtés du triangle.
Considérons par exemple le triangle AB’C’ image du triangle ABC par l’homothétie de centre A et de rapport 2/3.
Il existe un segment ayant ses extrémités sur les côtés de ABC et de longueur inférieure à 2/3 contenant tout point M à l’intérieur de AB’C’ (il suffit de considérer la droite parallèle à (B’C’) passant par M).
D’un autre côté, il existe un segment ayant ses extrémités sur les côtés de ABC et de longueur supérieure à 2/3 contenant tout point M à l’intérieur de ABC (il suffit de considérer une des droites (BM) ou (CM) ; la longueur d’un tel segment est nécessairement supérieure à celle de l’apothème, soit sqrt(3)/2 > 2/3).
Par continuité il existe donc un segment ayant ses extrémités sur les côtés de ABC et de longueur exactement égale à 2/3.
Le même raisonnement reste valable pour les triangles BA’C’ et CA’B’.
Les triangles AB’C’, BA’C’ et CA’B’ recouvrant entièrement le triangle ABC, la réciproque est ainsi démontrée.