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A515 Chassé-croisé entre puissances [*** à la main et avec ordinateur] Solution de Daniel Collignon Question n°1

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Academic year: 2022

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A515 Chassé-croisé entre puissances [*** à la main et avec ordinateur]

Solution de Daniel Collignon Question n°1

Le cas a = b = 0 fournit une solution triviale.

Supposons à présent a, b > 0.

Par l’absurde, supposons qu’il existe des entiers c, d, e et f tels que : 2^a = 5^b * 10^c + d

5^a = 2^b * 10^e + f

Pour k entier, 2^k = 1, 2, 4, 6, 8 modulo 10 et 5^k = 5 modulo 10, donc en particulier d et f ne sont pas nuls et nous avons donc les inégalités strictes suivantes :

5^b * 10^c < 2^a < (5^b + 1) * 10^c < 2*5^b * 10^c 2^b * 10^e < 5^a < (2^b + 1) * 10^e < 5*2^b * 10^e

D’où par multiplication, 10^(b+c+e) < 10^a < 10^(b+c+e+1), et la contradiction vient du fait que a est strictement compris entre deux entiers consécutifs.

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