A521 Petit cocktail sierpinskiste de puissances n° 2 [*** à la main] Solution 1

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A521 Petit cocktail sierpinskiste de puissances n° 2 [*** à la main]

Solution

1^ère partie

En testant les premières valeurs de n = 2,3,4,… on constate que n = 5 est solution. En effet 4 !

= 24 et 24 + 1 = 25 = 5².

Avec n6, on a (n-1) ! + 1 > 2(n-1)(n-2) = 2(n²3n2)>n car ² n > 6n – 4 ou ² 0

4 6n

n²   ce qui est le cas quel que soit n 6.

La seule solution est donc n = 5.

Le plus petit entier n qui est tel que n divise (n-1) ! + 1 est 13. En effet 12 ! + 1 = 479 001 ² 601 = 2 834 329.13²

2^ème partie

Les amateurs éclairés auront reconnu le théorème de Liouville.

Pour tout nombre premier p > 5, on la double inégalité : 2 <

2 1 -

p < p – 1. D’où

1) 2 .(p

1 - 2.p 1)

(p ²   qui divise (p – 1 )!

Supposons que l’on ait un entier p > 5 solution de (p – 1) ! + 1 = p . On en déduirait que ^m 1)2

(p divise p - 1. Donc p-1 diviserait ^m p^m^-¹p^m^²....1.

Or il est bien connu que p – 1 divise p^k 1 quel que soit k, ce qui revient à dire que p^k 1 modulo p – 1 quel que soit l’entier k.

Il en découlerait que p^m^-¹p^m^²....1m modulo p-1, ce qui reviendrait à dire que p – 1 divise m et l’on aurait alors p1m.

D’où p^mp^p^¹(p1)^p^¹(p1)!, ce qui donnerait (p-1) ! + 1< p . D’où contradiction. ^m L’équation proposée n’a pas de solution en p avec p premier > 5.