A520 - Petit cocktail sierpinskiste de puissances n°1 On pose

A520 - Petit cocktail sierpinskiste de puissances n°1

On pose N=2ⁿ.

- Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n tels que n divise 2^N+2

- Trouver le nombre premier p > 2 qui divise 2^N+3^N+5^Nquel que soit n entier naturel >0.

- Démontrer que 8^N−5^Nn’est jamais un carré parfait quel que soit n entier naturel >0.

On pose N=3ⁿ.

- Démontrer que 2^N+1est divisible par N quel que soit n entier naturel > 0.

Question 1

Posons N=2ⁿ. Montrons qu’il existe une infinité d’entiers n vérifiant la relation (R) n| 2^N+2 Pour cela, il suffit de montrer par récurrence sur k∈ que (HR) n=6 3× ^k vérifie (R).

Vérifions tout d’abord que (HR) vraie au rang 0⇔6 3 × ⁰ = 6 vérifie ( )R ⇔6 | 2²⁶+2, en calculant que

( )

6 3 2 2 4

2 4 4 4 4

[6] [6] [6]

2 =2 =16 ≡ ( 2)− =16 ≡ −2 =16≡ −2

Supposons ensuite que (HR) vraie au rang k⇔n= ×6 3 vérifie (R)^k ⇔n| 2^N+2⇔ ∃ ∈q , 2^N=qn−2, puis calculons :

( )

( )

( )( )

1 2

1 2

[3 ]

1 1 1

[3 ] [3] [3 ]

2 [3 ]

2 ( 2) ( 2) C ( 2)

( 2) 1 2 car 3 | 3 | | 2,

2 1 car 2 | 2 ( 1) 1 2

2 car 3 | 3 |

N N N N i N i i i

N i

N n i

n

n n n

n n

n

qn N qn q n

qn n n n n i N

qn qn n n n

qn n n n

− −

=

−

− − −

− = − + − + −

≡ − − ⇒ ∀ ∈

≡ − + ⇒ ≡ − = − ⇒ ≡ −

≡ − − ⇒

∑

( )

( )

( )( )

1 2

1 2

[3 ]

1 1 1

[3 ] [3] [3 ]

2 [3 ]

[3 ]

2 ( 2) ( 2) C ( 2) ( )

( 2) 1 2 car 3 | 3 | | 2,

2 1 car 2 | 2 ( 1) 1 2

3 2 car 3 | 3 |

2

N N N N i N i i i

N i

N n i

n

n n n

n n

n n

qn N qn q n

qn n n n n i N

qn qn n n n

qn n n n

− −

=

−

− − −

− − = − − − + − −

≡ − + ⇒ ∀ ∈

≡ − − ⇒ ≡ − = − ⇒ ≡ −

≡ − ⇒

≡ −

∑

( )

( )

3 N N

[3 ] [3 ] [3 ]

2^N ≡ _n qn−2 ≡ _n −qn−2 ≡ _n −2

On en déduit que 3 | 2n ^N3+2⇔3n=6 3× ^k+1 vérifie ( )R ⇔(HR) est vraie au rang k+1, ce qui conclut la récurrence.

Question 2

Posons N=2ⁿ. Montrons qu’il existe un nombre premier p > 2 tel que ∀ >n 0, | 2p ^N+3^N+5^N. Si p > 2 existe alors p| 2²¹+3²¹+5²¹=4+9+25=2 19× ⇒p=19

Considérons dans ^Z₁₉

Zles suites u_n≡2^N,v_n≡3^N,w_n≡5^N et x_n≡u_n+v_n+w_n≡2^N+3^N+5^N.

N 1 2 3 4 5 6 7 8

2^N

un≡ 4 -3 9 5 5 6 -2 4

3^N

vn≡ 9 5 6 -2 -2 4 -3 9

5^N

wn≡ 6 -2 4 -3 -3 9 -5 6

2^N 3^N 5^N

n n n n

x ≡u +v +w ≡ + + 0 0 0 0 0 0 0 0 On constate que ∀ ∈n 1,8 , x_n≡0

On remarque également la périodicité de ces suites donnée par

7 8 1 1 1

8 1

8 1 7 8 1 1 1

8 1 7 8 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2

7

2 2 2 2 2 2 2 2

7

2 2 2 2 2 2 2 2

7

7 7 7 7

7

2 2 2 2

2 2

3 3 0, 3 3 3 3

5 5 5 5 5 5

0, 0,

k k k k

k k k k

k k k k

k k

k k

k k

k k k k k k k

k k

u u

k v v

w w

k x u v w u v w

k x x

+ − −

+ − −

+ − −

× ×

+

× ×

+

× ×

+

+ + + +

+



 ≡  ≡ = ≡ = ≡

 

≡ ⇒∀ > ≡ = ≡ = ≡

 

 

≡ ≡ = ≡ = ≡

 

 

⇒∀ > ≡ + + ≡ + +

⇒∀ > ≡

Ce qui nous permet de conclure, par récurrence, que∀ >n 0, x_n≡0, c'est-à-dire que ∀ >n 0, p=19 | 2^N+3^N+5^N

Question 3

Posons N=2ⁿ. Démontrons que 8^N−5^Nn’est jamais un carré parfait quel que soit n entier naturel >0.

Pour cela, il suffit de montrer que 0, ^{3 | 8 5} 9 | 8 5

N N

N N

n

 −

∀ > 

 − . Considérons dans

Z9

Zles suites u_n≡8^N,v_n≡5^Net x_n≡u_n−v_n≡8^N−5^N.

n 1 2 3

8^N

un≡ 1 1 1

5^N

vn≡ -2 4 -2

8^N 5^N

n n n

x ≡u −v ≡ − 3 -3 3 On constate que ∀ ∈n 1,3 , x_n≡ ±3

On remarque également la périodicité de ces suites donnée par

2 3 1 1 1

3 1

3 1 2 3 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

2

8 8 8 8

8 8

0,

5 5 5 5 5 5

0, 0,

k k k k

k k k k

k k

k k

k k k k k

k k

u u

k

v v

k x u v u v

k x x

+ − −

+ − −

× ×

+

× ×

+

+ + +

+

 ≡  ≡ = ≡ = ≡

 

⇒∀ >

 

≡ ≡ = ≡ = ≡

 

 

⇒∀ > ≡ − ≡ −

⇒∀ > ≡

Ce qui nous permet de conclure, par récurrence, que∀ >n 0, x_n≡ ±3, ce qui implique que 0, ^{3 | 8 5} 9 | 8 5

N N

N N

n

 −

∀ > 

 − .

Question 4

Posons N=3ⁿ. Démontrons par récurrence sur n que ∀ >n 0, N| 2^N+1. On vérifie que pour le rang n = 1, on a bien 2³+ = + =1 8 1 9≡_[3]0. Calculons d’abord

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2

3 2 2

3

2 1 3 2 1 3 2 1

2 3 2 3 2 1 3 2 2 2 1 3 2 1

2 1

N N N

N N N N N N

N

+ − + + +

= + × + × + − + × + + +

= +

Si on suppose maintenant l’hypothèse vraie au rang n

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3

2

3 2

3

| 2 1

3 | | 2 1 | 2 1

3 | 2 1 3 2 1 3 2 1

3 | 2 1

N

N N

N N N

N

N N N N N

+

⇒ + +

⇒ + − + + +

⇒ +

Alors l’hypothèse est vraie au rang n + 1, ce qui conclut la récurrence.