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1. Semigroupe de la chaleur a) On pose, pour t > 0 et x ∈ R

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Mathématiques Générales première année

Introduction aux équations aux dérivées partielles Année 2010-2011

Devoir no 3

Semigroupe de la chaleur. Equations des ondes 1d A rendre le 21 mars 2011

1. Semigroupe de la chaleur a) On pose, pour t > 0 et x ∈ R

n

:

– P (x) = 1

(4π)

n/2

e − |x|

2

4

– Φ

t

:= P

√t

; c’est le noyau de la chaleur.

On pose, pour 1 ≤ p ≤ ∞ et f ∈ L

p

( R

n

), S(t)f := f ∗ Φ

t

. b) Montrer que S(t) ∈ L (L

p

, L

p

) et que kS(t)k

L(Lp,Lp)

≤ 1.

c) Soit X

p

= L (L

p

, L

p

) muni de sa norme naturelle. Montrer que ]0, +∞[3 t 7→ S(t)

est continue.

d) Si 1 ≤ p < ∞, montrer que t 7→ S(t) se prolonge par continuité en t = 0 en posant S(0) = I .

e) Montrer que S est un semigroupe, au sens où S(t + s) = S(t)S(s), ∀ s, t ≥ 0.

f) On suppose p = ∞. Montrer que :

t→0+

lim S(t)f = f dans L

∞

⇐⇒ f est uniformément continue et bornée.

2. Equation des ondes 1d

Résoudre, en utilisant la transformée de Fourier, l’équation des ondes unidimensionnelle

 

 

u

tt

− u

xx

= 0 dans R × [0, +∞[

u

|t=0

= g u

t|t=0

= h

.

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