Enonc´e noA520 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Pour la commodit´e d’´ecriture des formules, je noterai 2n=f(n), 3k =h(k).
1) Soit `a montrer que 2 +f(f(n)) = 0 (modn) pour une infinit´e de valeurs de n.
On essaie avec les petites valeurs de n; les premi`eres qui satisfont cette condition sont 3, 6 et 18.
Cela pousse `a examiner le cas n= 2h(k), aveck≥1.
Pour ´etudier des expressions de la forme 2N (modh(k)), j’utilise le petit th´eor`eme de Fermat ´etendu par Euler : l’exposantN peut ˆetre remplac´e par son reste moduloϕ(h(k)) = 2h(k−1), ϕ´etant l’indicatrice d’Euler.
On d´emontre ci-dessous (question 4) que h(k+ 1) divise 1 +f(h(k)).
Il en r´esulte que h(k+ 1) = 9h(k−1) divise aussi f2(h(k))−1 =f(2h(k))−1 =f(n)−1 =N−1.
DeN = 1 (modh(k−1)) et N = 0 (mod 2) on tire N = 1 +h(k−1) (mod 2h(k−1)).
Moduloh(k), le reste de 2 +f(N) est le mˆeme que celui de
2 +f(1 +h(k−1)) = 2(1 +f(h(k−1))), soit 0 (toujours par la question 4) ; d’autre part 2 +f(N) est multiple de 2, donc multiple de 2h(k) =n.
Cela valide l’hypoth`ese 2 +f(f(n)) = 0 (mod n) pour n = 2h(k), k ≥ 1, donc pour une infinit´e de valeurs de n, CQFD.
2) Les premi`eres valeurs de E(n) = 2f(n)+ 3f(n)+ 5f(n) sont
E(1) = 38 = 2·19, E(2) = 722 = 2·192. Ainsi le seul candidat est p= 19 et il s’agit de montrer qu’il diviseE(n) pour toutn >0.
Or 19 divise 16 + 3, donc 16a−3a pour toutapair, et 2f(n+2)−3f(n) pour toutn >0.
De mˆeme 19 divise 81−5, donc 81b−5bpour toutbentier, et 3f(n+2)−5f(n) pour toutn≥0.
Enfin 19 divise 625 + 2, donc 625c−2c pour tout c pair, et 5f(n+2)−2f(n) pour toutn >0.
Au total 19 diviseE(n+ 2)−E(n) pour toutn >0.
Comme 19 divise E(1) et E(2), par r´ecurrence 19 divise E(n) pour tout n >0, CQFD.
N.B. On a la mˆeme propri´et´e pour 4f(n)+6f(n)+9f(n)et 1f(n)+7f(n)+8f(n).
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3) SoitN la plus petite puissance de 2 telle que 8N−5N soit un carr´e parfait.
On a 8N−5N = (8N/2−5N/2)(8N/2+5N/2), produit de deux facteurs impairs dont le PGCD divise la somme et la diff´erence, soit 2·8N/2 et 2·5N/2, qui ont 2 pour PGCD. Ainsi ces deux facteurs sont premiers entre eux. Tout diviseur premier du carr´e 8N −5N figure dans un seul de ces facteurs, et avec un exposant pair comme dans le carr´e ; cela entraˆıne que chaque facteur est lui-mˆeme un carr´e.
Mais si 8N/2−5N/2 est un carr´e, cela contredit la d´efinition de N comme plus petite puissance de 2 ayant cette propri´et´e. Aussi faut-il conclure que cet entierN n’existe pas.
N.B. On reconnaˆıt un raisonnement analogue `a la “descente infinie” de Fer- mat.
4) Pour k= 0, h(k+ 1) = 3 est un diviseur de 1 +f(h(k)) = 1 + 2 = 3.
Sih(n+ 1) =A est un diviseur de 1 +f(h(n)) =AB, on a 1 +f(h(n+ 1)) = 1 +f(3h(n)) = 1 +f3(h(n)) =
= (1 +f(h(n)))(3 + (1 +f(h(n)))(f(h(n))−2)),
soit 1+f(h(n+1)) =AB(3+AB(AB−2)) qui est multiple de 3A=h(n+2) puisqueA est une puissance de 3.
La propri´et´e “h(k+ 1) divise 1 +f(h(k))” ´etant vraie pourk= 0, et vraie pour k = n+ 1 si elle est vraie pour k =n, est vraie par r´ecurrence pour toutk >0, CQFD.
N.B. L’´enonc´e de cette question 4 se limite `a la propri´et´e plus faible “h(k) divise 1 +f(h(k))”.
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