Enonc´e noA327 (Diophante) Les nombres prosp`eres
Par convention un nombre entier naturelnest appel´e “prosp`ere” si tous les exposants de ses facteurs premiers sont sup´erieurs ou ´egaux `a 2. D´emontrer qu’il existe une infinit´e de paires de nombres entiers cons´ecutifs prosp`eres.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Citons Fermat : “SiAn’est pas carr´e, il y a infinis carr´es qui, multipli´es par A, font un carr´e moins 1”.
PrenonsA= 8, tout carr´ey2 tel que 8y2 est un carr´e moins 1 donne la paire de nombres prosp`eres cons´ecutifs (8y2,8y2+ 1).
Explicitons les valeurs satisfaisantes dey : yk= (3 + 2√
2)k−(3−2√ 2)k 4√
2 donnant
q
8yk2+ 1 = (3 + 2√
2)k+ (3−2√ 2)k 2
Ce sont bien des entiers, comme le montre le d´eveloppement des puissances k-i`emes.
D’o`u les premi`eres paires (8 = 23,9 = 32), (288 = 25·32,289 = 172), (9800 = 23·52·72,9801 = 34·112), etc.
Il existe aussi des paires, par exemple (12167 = 233,12168 = 23 ·32 ·132), dont aucun terme n’est un carr´e.
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