Question 1 Lemme Si

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Question 1

Lemme

Sipdivisem, alors 2^p−1 divise 2^m−1.

De plus, siq=^m_p est impair, alors 2^p+ 1 divise 2^m+ 1.

Démonstration : 2^m±1 = (2^p)^q±1^q et tout découle des identités remarquables.

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Montrons par récurrence que pour n > 0,un divise un+1 où la suite (un) est définie parun+1= 2^2un+ 2 etu1= 1.

Pourn= 1, c’est trivial.

Supposons démontré que pourn >1,u_n−1 diviseu_n. Alors 2^un−1−1 divise 2^un−1, par application du lemme.

Ces deux nombres étant impairs, leur rapport entier est nécessairement impair.

D’où par application du lemme, 2^2un−1−1+ 1 divise 2^2un−1+ 1.

A un facteur 2 près, nous venons de montrer queun diviseun+1= 2^2un+ 2.

L’ensemble infini des nombres de la suite (u_n) répond à la question.

Question 2

Montrons quep= 19 diviseun= 2²ⁿ+ 3²ⁿ+ 5²ⁿ pour toutn >0.

Les calculs qui suivent sont modulo 19.

Pour tout entierm, nous avons m¹⁸≡1 (petit théorème de Fermat).

D’oùm²⁷ ≡m^18.7+2≡m²¹, et doncun+6≡un.

Il reste donc à vérifier que 19 divise les 6 premiers termes, ce qui est synthétisé dans le tableau ci-après :

n 2²ⁿ 3²ⁿ 5²ⁿ u_n

1 4 9 6 0

2 16 5 17 0

3 9 6 4 0

4 5 17 16 0

5 6 4 9 0

6 17 16 5 0

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Question 3

D’après les identités remarquables, 3 divise 8^N −5^N.

Une condition nécessaire pour que ce dernier soit un carré parfait est qu’il soit divisible par 9 (l’exposant de 3 dans sa décomposition en facteurs premiers doit être pair).

Les calculs qui suivent sont modulo 9.

Partant de 5²¹ = 25≡7 et comme 5²ⁿ⁺¹ =( 5²ⁿ)2

, nous avons 5²² ≡7²≡4 et 5²³ ≡4²≡7.

Finalement 5²ⁿ≡4 ou 7. Or, 8²ⁿ≡(−1)²ⁿ≡1, donc 9 ne divise pas 8²ⁿ−5²ⁿ et ce dernier ne sera jamais un carré parfait.

Question 4

Montrons que 3ⁿ diviseun= 2³ⁿ+ 1 pour tout entiern >0.

Pourn= 1, nous avons bien 3 qui diviseu1= 9.

Supposons démontré que pourn >0, 3ⁿ diviseun. Alorsu_n+1=(

2³ⁿ)3

+ 1³=u_n(

u²_n−3u_n+ 3)

et par hypothèse de récurrence, 3ⁿ diviseu_n et 3 diviseu²_n−3u_n+ 3, d’où 3ⁿ⁺¹ diviseu_n+1.

Remarque : 3ⁿ⁺¹ diviseu_n est encore vrai.

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