A515 Chassé-croisé entre puissances [*** à la main et avec ordinateur]
Solution de Pierre Jullien Question n°1
Un regard rapide sur les listes conjointes (avec un tableur) de 2a et 5a, pour les cent premières valeurs de a montre que lorsque 2a commence par une puissance de 5 alors 5a est un peu inférieur à ce que l’on cherche. Optons pour la réponse NON.
En effet, dire que 2a commence par 5b ; c’est dire qu’il existe un décimal u et un entier h tels que 2a = 5b(1+u)10h , où u est strictement positif et raisonnablement petit. De même, dire aussi que 5a commence par 2b ; c’est dire qu’il existe un décimal v et un entier k tels que 2a = 5b(1+v)10k , où v est strictement positif et raisonnablement petit. Ainsi 10a = 2a.5a =
(1+u)(1+v)10b+h=k. Ce qui est impossible car (1+u)(1+v) ne peut être une puissance de 10.