E631 Retour à la case de départ [*** à la main]
Solution de Pierre Jullien Etude
De manière préliminaire, prenons pour unité de longueur celle de la piste et pour unité de temps celui nécessaire pour faire un tour (1mn 12s) Les six minutes font donc cinq unités de temps. Dotons aussi la piste d’un sens de parcours.L’espace-temps est naturellement le cylindre produit de la piste par l’axe temps.Pour faciliter les représentations, déroulons la piste selon l’axe des x, sur lequel il faut identifier les points modulo Z (ensemble des entiers).Ainsi, les vitesses étant uniformes, les graphes des mouvements sont rectilignes (par morceaux, de pente 1 ou –1, vu le choix des unités). Autrement dit, la réunion des graphes des mouvements des coureurs est une trame de p fils montant et q fils descendant, si au départ p coureurs vont dans le sens de la piste et q autres coureurs vont en sens contraire.
Premier exemple
Ci-contre, la représentation est relative à trois coureurs, aux maillots rose, vert et noir (le premier part en sens inverse et les deux autres dans le bon sens).
En trois unités de temps, chacun est revenu à sa place, dans le sens du départ.
Pouvait-on prévoir ce résultat ? La réponse est OUI.
En effet, désignons par M et N les fibres montantes (de gauche à droite) et a la fibre descendante. Ces fibres sont uniques modulo Z en x. Le graphe du mouvement d’un coureur emprunte successivement les fibres
MaNaMaNaMa … Ce mot infini a pour période MaNa, qui correspond à un déplacement de vecteur (2,1) dans les axes diagonaux ; soit (1/2,3/2) dans les axes rouges.
Ainsi, dans les axes (x,t) le déplacement d’un coureur
est périodique de période (1,3). C’est-à-dire qu’ici, chaque coureur a globalement effectué un tour, en trois unités de temps.
Autre exemple
x t
Pour mieux illustrer ce propos, examinons le cas de cinq coureurs aux maillots rose, vert, noir, rouge, bleu dont deux (rose et bleu) partent, à l’origine du temps, dans le bon sens et les trois autres en sens contraire.
Désignons par M et N les fibres montantes et a, b et c les fibres descendantes.
Le graphe du mouvement d’un coureur emprunte successivement les fibres
MaNbMcNaMbNcMaNbMcNaMbN … de période MaNbMcNaMbNc, qui correspond à un déplacement de vecteur (2,3) dans les axes
diagonaux ; soit (-1/2,5/2) dans les axes rouges. Ainsi, dans les axes (x,t) le déplacement d’un coureur est périodique de période (-1,5). C’est-à-dire que, dans cet exemple, chaque coureur a globalement effectué un tour (en
sens inverse), en cinq unités de temps.
Cas général
Supposons qu’initialement il y ait p coureurs allant dans le sens de la piste et q autres allant en sens contraire. Chaque coureur emprunte alternativement les fibres montantes Mi (1
≤ i ≤ p) et les fibres aj (1 ≤ j ≤ q). Le mot
infini correspondant est périodique. Sa période a pour longueur deux fois le ppcm de p et q (s’en convaincre).
Notons p’ et q’ les entiers (premiers entre eux) tels que p = dp’ et q = dq’, où d est le pgcd de p et q. Le temps d’une période correspond à un déplacement de vecteur (p’,q’) dans les axes diagonaux ; soit ((p’-
q’)/2,(p’+q’)/2) dans les axes (x,t).
Il faut alors distinguer le cas où p’ et q’ sont de même parité du cas contraire. Dans le premier cas, le vecteur trouvé correspond à la période et, dans le second cas il faut prendre sont double (comme dans les exemples
précédents).
Réponse à la question posée (p+q≤12)
Lorsque p (ou q) est nul ou lorsque p=q, tous les coureurs se retrouvent à leur point de départ et dans la direction qui était la leur initialement, au bout d’une unité de temps (donc cinq aussi).Sinon tous les coureurs se
retrouvent à leur point de départ et dans la direction qui était la leur initialement, au bout d’exactement cinq unités de temps, pour les seuls couples (p,q) tels que p+q soit un multiple de cinq :
(1,4) (1,9) (2,3) (2,8) (3,2) (3,7) (4,1) (4,6) (6,4) (7,3) (8,2) (9,1)
