E631 : Retour à la case départ.
Lorsque deux coureurs se rencontrent, on peut aussi bien considérer qu’ils continuent chacun à courir dans le même sens, en échangeant leurs dossards. A 20 km/h, il faut t=6/5 de minute pour parcourir 400m, donc, au bout du temps t, chaque coureur est revenu au point de départ ; mais avec quel dossard? S’il y a p coureurs dans le sens direct et n-p dans le sens inverse, le dossard du 1er du sens direct va passer au 1er du sens inverse, puis le deuxième du sens direct, etc…jusqu’au p-ième du sens inverse pour revenir au 1er du sens direct après que ce dernier aura fait p rencontres. Or, ce coureur fait 2(n-p) rencontres à chaque tour. Tous seront revenus à la position initiale après m tours si 2m(n-p) est divisible par p, donc si 2mn est divisible par p. En raisonnant dans l’autre sens de rotation, on déduit que 2mn est divisible par n-p. Ce sera le cas si m est le ppcm de p et n-p, mais cela peut advenir avant, et en particulier dès le premier tour si n=2p.
Si tous sont revenus dans la position initiale après 6 minutes, donc après 5 tours, 10n est divisible par p et n-p. D’où les solutions suivantes (à la symétrie près)
n=2, p=1 ; n=3, p=1 ; n=4, p=2 ; n=6, p=1, 2 ou 3 ; n=8, p=4 ; n=9, p=3 ; n=10 p=5 ; n=11, p=1 ; n=12, p=2, 4 ou 6.
