D226 Jeux d’enfants [*** à la main]
Solution de Pierre Henri Palmade
1ère question :
En divisant chaque coté du carré en 5 parties égales, on obtient 25 carrés identiques de 14 m de coté. Comme il y a 51 enfants, il y a au moins l’un de ces carrés qui contient 3 enfants (puisque 2*25=50). Or la diagonale d’un tel carré mesure 14 rac(2)=19,80 m, et il est donc intérieur à un cercle de rayon 10 m de même centre.
2ème question
Le problème me semble se poser différemment selon le nombre d’enfants (soit a le coté du carré et d la distance cherchée) : pour n=3, le problème revient à inscrire un triangle
équilatéral de coté maximal dans le carré ; le plus grand inscriptible aura un sommet commun avec un du carré, et les deux autres sur les cotés du sommet opposé du carré, symétriques par rapport à la diagonale (donc l’angle de pi/3 du triangle est au milieu de l’angle de pi/2 du carré, laissant des angles de pi/12 de chaque coté. Donc d=a /cos(pi/12)= 10,35m.
Pour n=4 on a, bien sûr, d=10m
Pour n=5 , si l’on part d’un sommet du carré, deux points peuvent être placés à la distance d sur les cotés adjacents, et deux sur les cotés opposés, à la distance d/rac(2) du sommet opposé, avec d tel que (a-d)2+(a-d/rac(2))2=d2 soit d=a(2+rac(2)-rac(2+4rac(2))=6,47 mais la
disposition en carré et son centre donne d=arac(2)=7,07m.
