A230 - Le carré qui donne deux rectangles bien ajustés [* à la main]
Solution
Soit ABCD le carré de côté unité et EF le segment parallèle à AB qui partage le carré en deux rectangles ABFE et CDEF (voir figure 1).On suppose par convention que le plus petit des 2 rectangles est ABFE. On souhaite obtenir la figure 2 ci-après dans laquelle ABFE s’insère dans CDGH rectangle identique à CDEF.
Figure 1 Figure 2
On pose AE = x avec 0 < x < 1/2 et a =angle(AEG).
Comme les triangles AEG et EFD sont semblables, on a la première relation :1- x – x.cos(a) = sin(a).
D’autre part AG + AH = 1 x.sin(a) + cos(a) = 1
En éliminant x de ces deux équations, on obtient la relation (1- sin(a))/(1+cos(a)) = (1 – cos(a))/sin(a) qui se ramène à sin(a).(2sin(a) – 1) = 0
L’unique solution est donnée par a = 30° = pi/6. Il en résulte AE = x = 2- et ED = - 1
