J140-Une grille magique
Problème proposé par Michel Lafond
Remplir toutes les cases de la grille 13 x 16 ci-dessous avec des nombres entiers dont quinze au moins sont distincts de sorte que dans quatre cases qui forment un carré (en jaune), une barre verticale (en vert), une barre horizontale (en bleu) ou qui sont placées en diagonale (en rose ou en violet) ou qui comme en bas à droite (en rouge) aux sommets d'un carré 4x4, n’importe où dans la grille, la somme des quatre nombres est toujours égale à 2016.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
En partant d'un carré latin utilisant les 16 premiers nombres de 1 à 16 . On doit pouvoir sommer 34 puisque : 16 x 17/2 = 136 = 4 x 34 .
En sachant que 2016 = 32 x 63 , il suffit de remplacer l'entier 8 par l'entier 0 donc de soustraire 1 à tous les entiers < 9 afin de sommer 32 à chaque ligne , chaque colonne , chaque diagonale et chaque petit carré. ( après le pavage , les carrés rouges deviennent jaunes )
Il faut au moins 15 termes différents ; 16 termes feront donc l'affaire.
le premier carré latin donne :
1 ---- 8 -- 10 -- 15 12 -- 13 -- 3 --- 6 7 ---- 2 -- 16 --- 9 14 -- 11 -- 5 --- 4
en remplaçant 8 par 7 , 7 par 6 .... 2 par 1 et 1 par 0
0 ---- 7 ---10 -- 15 12 -- 13 -- 2 --- 5 6 ---1 -- 16 ---9 14 -- 11 -- 4 --- 3
et finalement en multipliant tous les termes par 63
--0 --- 441 ---- 630 ---- 945 ---- 756 ---- 819 ---- 126 ---- 315 ---- 378 ---- 63 ---- 1008 ---- 567 ---- 882 ---- 693 ---- 252 ---- 189 ----
Il suffit maintenant de paver le rectangle 13 x 16 avec ce dernier carré et de couper ce qui dépasse après la treizième ligne On obtient donc les dernières lignes suivantes :
--0 --- 441 ---- 630 ---- 945 756 ---- 819 ---- 126 ---- 315 378 ---- 63 ---- 1008 ---- 567 882 ---- 693 ---- 252 ---- 189 --0 --- 441 ---- 630 ---- 945
et le pavage suivant:
--0 --- 441 ---- 630 ---- 945 ---- --0 ---- 441 ---- 630 ---- 945 ---- 0 ---- 441 ---- 630 ---- 945 --- --0 ---- 441 --- 630 --- 945 756 ---- 819 ---- 126 ---- 315 ---- 756 --- 819 --- 126 ---- 315 ----756 -- 819 ---- 126 ---- 315 ----756 --- 819 ---- 126 --- 315 378 ---- 63 ---- 1008 ---- 567 ----378 ---- 63 ---- 1008 --- 567 ----378 ---- 63 --- 1008 ---- 567 ---378 ---- 63 --- 1008 --- 567 882 ---- 693 ---- 252 ---- 189 ----882 ---- 693 ---- 252 --- 189 ----882 ---- 693 --- 252 ---- 189 ----882 ---- 693 --- 252 ---- 189 --0 --- 441 ---- 630 ---- 945 ---- --0 ---- 441 ---- 630 ---- 945 ---- 0 ---- 441 ---- 630 ---- 945 --- --0 ---- 441 --- 630 --- 945 756 ---- 819 ---- 126 ---- 315 ---- 756 --- 819 --- 126 ---- 315 ----756 -- 819 ---- 126 ---- 315 ----756 --- 819 ---- 126 --- 315 378 ---- 63 ---- 1008 ---- 567 ----378 ---- 63 ---- 1008 --- 567 ----378 ---- 63 --- 1008 ---- 567 ---378 ---- 63 --- 1008 --- 567 882 ---- 693 ---- 252 ---- 189 ----882 ---- 693 ---- 252 --- 189 ----882 ---- 693 --- 252 ---- 189 ----882 ---- 693 --- 252 ---- 189 --0 --- 441 ---- 630 ---- 945 ---- --0 ---- 441 ---- 630 ---- 945 ---- 0 ---- 441 ---- 630 ---- 945 --- --0 ---- 441 --- 630 --- 945 756 ---- 819 ---- 126 ---- 315 ---- 756 --- 819 --- 126 ---- 315 ----756 -- 819 ---- 126 ---- 315 ----756 --- 819 ---- 126 --- 315 378 ---- 63 ---- 1008 ---- 567 ----378 ---- 63 ---- 1008 --- 567 ----378 ---- 63 --- 1008 ---- 567 ---378 ---- 63 --- 1008 --- 567 882 ---- 693 ---- 252 ---- 189 ----882 ---- 693 ---- 252 --- 189 ----882 ---- 693 --- 252 ---- 189 ----882 ---- 693 --- 252 ---- 189 --0 --- 441 ---- 630 ---- 945 ---- --0 ---- 441 ---- 630 ---- 945 ---- 0 ---- 441 ---- 630 ---- 945 --- --0 ---- 441 --- 630 --- 945
