F164 Nombres divisibles par leur Pdc
Cette grille utilise les nombres impairs de 9 chiffres divisibles par le produit de tous leurs chiffres.
On appellera NIDP ces nombres, et NI les nombres formés par des chiffres impairs.
Tous les nombres sont différents.
Aucun nombre ne commence par zéro.
Pdc = produit des chiffres
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A)
(B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I)
Horizontalement Verticalement
(A) NIDP dont le Pdc est un multiple de 5 (a) NIDP
(B) NIDP dont le Pdc est un multiple de 5 (b) NIDP dont le Pdc est un multiple de 5
(C) NIDP (c) NIDP
(D) NIDP (d) NIDP
(E) NIDP (e) NIDP dont le Pdc est un multiple de 5
(F) NIDP dont le Pdc est une puissance cinquième (f) NIDP dont le Pdc est un carré
(G) NIDP > (E) (g)
NI, dont le Pdc est un cube
(H)
NI, dont le Pdc est un carré
(h)NI, dont le Pdc est un carré
(I) NIDP (i) NIDP
1. Pour les NIDP, on fait appel à la calculatrice, qui, comme Ursula, en dresse la liste.
Il en existe 120.
NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc
111 111 111 1 111 173 391 567 113 713 173 1 323 131 911 335 1 215 171 139 311 567 311 339 133 2 187 371 331 135 2 835 731 111 913 567 111 111 115 5 111 311 115 15 117 111 715 245 131 913 117 567 171 933 111 567 311 377 311 1 323 373 111 137 1 323 731 131 191 567 111 111 135 15 111 311 739 567 117 113 115 105 131 919 111 243 177 111 333 1 323 311 391 135 1 215 511 133 175 1 575 733 311 117 1 323 111 111 175 35 111 317 115 105 117 311 733 1 323 133 131 195 1 215 179 111 331 567 311 511 375 1 575 513 111 375 1 575 791 131 131 567 111 111 315 15 111 331 773 1 323 117 391 113 567 133 511 175 1 575 191 113 911 243 313 111 575 1 575 553 179 375 496 125 911 111 733 567 111 111 735 105 111 335 175 1 575 117 911 115 315 135 111 375 1 575 191 117 115 315 317 111 193 567 711 111 135 105 911 113 191 243 111 111 993 243 111 711 915 315 119 171 115 315 137 119 311 567 191 131 731 567 317 119 131 567 711 119 115 315 911 311 317 567 111 113 115 15 111 731 319 567 131 111 115 15 137 757 375 540 225 191 313 171 567 317 311 911 567 711 311 139 567 911 711 115 315 111 117 111 7 111 933 171 567 131 111 379 567 137 913 111 567 193 113 315 1 215 319 133 115 1 215 711 373 131 1 323 917 311 311 567 111 117 195 315 111 993 111 243 131 111 715 105 139 111 911 243 197 111 313 567 331 717 113 1 323 711 717 111 343 931 111 119 243 111 119 715 315 113 111 115 15 131 119 317 567 139 313 115 1 215 311 111 115 15 335 111 175 1 575 713 111 931 567 931 713 111 567 111 131 115 15 113 111 397 567 131 131 791 567 151 113 375 1 575 311 111 199 243 337 311 135 2 835 713 191 311 567 931 935 375 382 725 111 131 919 243 113 351 175 1 575 131 171 775 5 145 157 171 175 8 575 311 119 137 567 351 113 175 1 575 713 331 171 1 323 959 151 375 212 625 111 133 575 1 575 113 377 131 1 323 131 331 375 2 835 171 111 115 35 311 191 713 567 371 111 139 567 713 791 575 231 525 971 511 975 99 225 111 139 371 567 113 711 115 105 131 391 315 1 215 171 131 373 1 323 311 311 917 567 371 319 795 178 605 731 111 115 105 993 111 111 243
2. Un NIDP ne contient pas de 0, car, dans ce cas le Pdc serait nul
3. Un NIDP ne contient pas de chiffre pair, car, sinon le Pdc serait pair, et le NIDP aussi.
4. Un NIDP multiple de 5, contient au moins un chiffre 5 et son dernier chiffre est 5.
5. (A), (B) et (i)
Ce sont des multiples de 5, donc ils se terminent par un 5, et par conséquent, (i) commence par 55 et se termine par 5. Il n'existe qu'un seul tel NIDP : 553 179 375
6. (b), (e) et (I)
7. Ce sont des multiples de 5, donc ils se terminent par un 5, et par conséquent, (I) est de la forme *5**5***5. Il n'existe qu'un seul tel NIDP : 959 151 375
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 5
(B) 5
(C) 3
(D) 1
(E) 7
(F) 9
(G) 3
(H) 7
(I) 9 5 9 1 5 1 3 7 5
8. (f)
Il existe 32 NIDP se terminant par 1 :
NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc NIDP Pdc
111 111 111 1 111 933 171 567 131 919 111 243 171 139 311 567 191 131 731 567 317 311 911 567 713 191 311 567 911 113 191 243 111 117 111 7 111 993 111 243 137 119 311 567 171 933 111 567 191 313 171 567 711 373 131 1323 713 331 171 1323 917 311 311 567 111 139 371 567 113 377 131 1323 137 913 111 567 179 111 331 567 311 377 311 1323 711 717 111 343 731 131 191 567 931 713 111 567 111 173 391 567 131 131 791 567 139 111 911 243 191 113 911 243 317 119 131 567 713 111 931 567 791 131 131 567 993 111 111 243
Et un seul dont le Pdc est un carré : (f) = 111 111 111, Pdc(f) = 1 = 1
2(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 5
(B) 1 5
(C) 1 3
(D) 1 1
(E) 1 7
(F) 1 9
(G) 1 3
(H) 1 7
(I) 9 5 9 1 5 1 3 7 5
9. (F), (a) et (c)
NIDP se terminant par 9 : il en existe 8
NIDP
111 131 919 111 311 739 111 731 319 131 111 379 311 111 199 371 111 139 711 311 139 931 111 119Pdc 243 = 35 567 567 567 243 = 35 567 567 243 = 35
Les troisième et sixième chiffres sont toujours 1, donc, avec (a) et (c) :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 5
(B) 1 5
(C) 1 1 1 3
(D) 1 1
(E) 1 7
(F) 1 1 1 9
(G) 1 3
(H) 1 7
(I) 9 5 9 1 5 1 3 7 5
Ce qui laisse pour (F) dont le premier chiffre est 1, et qui est une puissance cinquième une seule possibilité : (F) = 111 131 919
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 5
(B) 1 5
(C) 1 1 1 3
(D) 1 1
(E) 1 7
(F) 1 1 1 1 3 1 9 1 9
(G) 1 3
(H) 1 7
(I) 9 5 9 1 5 1 3 7 5
10. Les autres NIDP, en fonction de leur dernier chiffre, à savoir :
(D),(d)
111 111 111 111 933 171 131 919 111 171 139 311 191 131 731 317 311 911 713 191 311 911 113 191 111 117 111 111 993 111 137 119 311 171 933 111 191 313 171 711 373 131 713 331 171 917 311 311 111 139 371 113 377 131 137 913 111 179 111 331 311 377 311 711 717 111 731 131 191 931 713 111 111 173 391 131 131 791 139 111 911 191 113 911 317 119 131 713 111 931 791 131 131 993 111 111 (C),(G) 111 111 993 111 331 773 113 713 173 117 311 733 117 391 113 171 131 373 177 111 333 197 111 313
311 191 713 311 339 133 317 111 193 331 717 113 731 111 913 911 111 733
(A),(B),(b),(e)
111 111 115 111 131 115 113 711 115 131 331 375 151 113 375 313 111 575 513 111 375 959 151 375 111 111 135 111 133 575 117 111 715 131 391 315 157 171 175 319 133 115 553 179 375 971 511 975 111 111 175 111 311 115 117 113 115 131 911 335 171 111 115 335 111 175 711 111 135
111 111 315 111 317 115 117 911 115 133 131 195 191 117 115 337 311 135 711 119 115 111 111 735 111 335 175 119 171 115 133 511 175 193 113 315 351 113 175 713 791 575 111 113 115 111 711 915 131 111 115 135 111 375 311 111 115 371 319 795 731 111 115 111 117 195 113 111 115 131 111 715 137 757 375 311 391 135 371 331 135 911 711 115 111 119 715 113 351 175 131 171 775 139 313 115 311 511 375 511 133 175 931 935 375
(E) 113 111 397 131 119 317 131 913 117 311 119 137 311 311 917 373 111 137 733 311 117 911 311 317 (a),(c) 111 131 919 111 311 739 111 731 319 131 111 379 311 111 199 371 111 139 711 311 139 931 111 119
La calculatrice donne alors quatre possibilités :
cas 1 cas 2
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 1 1 7 1 1 9 1 5
(B) 1 1 1 3 1 1 1 1 5
(C) 1 1 1 1 1 1 9 9 3
(D) 7 1 3 1 1 1 9 3 1
(E) 3 1 1 3 1 1 9 1 7
(F) 1 1 1 1 3 1 9 1 9
(G) 3 1 7 1 1 1 1 9 3
(H) 1 1 3 9 1 1 7
(I) 9 5 9 1 5 1 3 7 5
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 1 1 7 1 1 9 1 5
(B) 1 1 1 3 1 1 1 1 5
(C) 1 1 1 1 1 1 9 9 3
(D) 7 1 3 1 1 1 9 3 1
(E) 3 1 1 3 1 1 9 1 7
(F) 1 1 1 1 3 1 9 1 9
(G) 3 1 7 1 1 1 1 9 3
(H) 1 3 3 9 1 1 7
(I) 9 5 9 1 5 1 3 7 5
cas 3 cas 4
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 1 1 7 1 1 9 1 5
(B) 1 1 1 3 1 1 1 1 5
(C) 1 1 1 1 1 1 9 9 3
(D) 7 1 3 1 1 1 9 3 1
(E) 3 1 1 3 1 1 9 1 7
(F) 1 1 1 1 3 1 9 1 9
(G) 3 1 7 1 1 1 1 9 3
(H) 1 7 3 9 1 1 7
(I) 9 5 9 1 5 1 3 7 5
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 1 1 7 1 1 9 1 5
(B) 1 3 1 9 1 1 3 3 5
(C) 1 1 1 1 1 1 9 9 3
(D) 7 1 3 1 1 1 9 3 1
(E) 3 1 1 3 1 1 9 1 7
(F) 1 1 1 1 3 1 9 1 9
(G) 3 1 7 1 1 1 1 9 3
(H) 1 1 3 3 1 1 7
(I) 9 5 9 1 5 1 3 7 5
11. (H) : carré, (g) : cube, (h) : carré
Il suffit de compter les chiffres identiques et d'en rajouter un (ou deux) de telle sorte que le nombre total de chiffres identiques soit un multiple de 2 ou 3.
Il n'existe qu'une seule possibilité, et ce, dans le cas 4 :
Pour l'unique solution :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 1 1 7 1 1 9 1 5
(B) 1 3 1 9 1 1 3 3 5
(C) 1 1 1 1 1 1 9 9 3
(D) 7 1 3 1 1 1 9 3 1
(E) 3 1 1 3 1 1 9 1 7
(F) 1 1 1 1 3 1 9 1 9
(G) 3 1 7 1 1 1 1 9 3
(H) 1 1 3 3 1 1 1 7 7
(I) 9 5 9 1 5 1 3 7 5
Contrôles
grille Pdc grille / Pdc (A) NIDP dont le Pdc est un multiple de 5 111 711 915 315 = 63.5 354 641 (B) NIDP dont le Pdc est un multiple de 5 131 911 335 1 215 = 243.5 108 569
(C) NIDP 111 111 993 243 457 251
(D) NIDP 713 111 931 567 1 257 693
(E) NIDP 311 311 917 567 549 051
(F) NIDP dont le Pdc est une puissance cinquième 111 131 919 243 = 35 457 333
(G) NIDP 317 111 193 567 559 279
(H) NI, dont le Pdc est un carré 113 311 177 441 = 212
(I) NIDP 959 151 375 212 625 4 511
(a) NIDP 111 731 319 567 197 057
(b) NIDP dont le Pdc est un multiple de 5 131 111 115 15 = 3.5 8 740 741
(c) NIDP 111 311 739 567 196 317
(d) NIDP 791 131 131 567 1 395 293
(e) NIDP dont le Pdc est un multiple de 5 111 113 115 15 = 3.5 7 407 541 (f) NIDP dont le Pdc est un carré 111 111 111 1 = 12 111 111 111 (g) NI, dont le Pdc est un cube 939 999 113 531 441 = 813
(h) NI, dont le Pdc est un carré 139 311 977 35 721 = 1822
(i) NIDP 553 179 375 496 125 1 115
