A515 Chassé-croisé entre puissances [*** à la main et avec ordinateur]
Solution
Question n°1
Il n’y a pas d’entiers a et b tels que les représentations décimales de 2a et 5a commencent respectivement par 5bet 2b.
En effet si c’était le cas, il existerait deux entiers positifs m et n tels que:
m b
a m
b.10 2 (5 1).10
5
et
n b
a n
b.10 5 (2 1).10
2 .
En multipliant respectivement les 1er,2ème et 3ème membres de la première expression par les membres correspondants de la deuxième expression, on en déduirait :
n m b
b a n m
b 10 (5 1).(2 1).10
10 .
Or (5b1).(2b1)= 10b5b2b110b.1010b1. On aurait donc
1 n m b a n m
b 10 10
10 , ce qui est impossible car l’entier a ne peut pas être inclus entre les deux entiers consécutifs b+m+n et b+m+n+1.
Question n°2 1er cas : p = 2
Les solutions en a et b entiers, si elles existent, s’obtiennent en résolvant le double système d’inégalités :
m b
a m
b.10 2 (q 1).10
q
et
n b
a n
b.10 q (2 1).10
2
En prenant les logarithmes, on obtient : 1) Log(q m
a.Log(2) b.Log(q)
m b
et
1) Log(2 n
a.Log(q) b.Log(2)
n b
On peut dire d’ores et déjà que les solutions n’existent pas pour q = 5 (cas précédemment étudié) et pour q égal à 8. L’impossibilité avec le couple (2,8) découle de l’incompatibilité des deux systèmes d’inéquations : 8b.10m 2a (8b 1).10m et 2b.10n 8a (2b1).10n. En élevant au cube les membres de la première expression, on aboutit à une incompatibilité avec la deuxième expression.
Si l’on s’intéresse pour commencer à la famille des solutions pour b = 1, on constate à l’aide d’un programme simple sur tableur que des solutions en a, m et n existent bien pour les valeurs de q = 3,4,5,6,7 et 9. Pour b = 2 et q = 4, il n’y a pas de solution en a, m et n. Les solutions pour les plus petites valeurs de a sont récapitulées dans le tableau ci-après :
Pour b >2, des solutions existent toujours mais il faut considérer des valeurs bien plus élevées de a, m et n. Ce n’est que pour le couple (p,q) = (2,3) qu’on obtient des valeurs inférieures à 5000 : a = 616, b= 3, m = 293 et n = 184.
2ème cas : p = 3
Là encore, il est possible d’identifier des solutions pour b = 1 et 2 et q différent de 9
p2 .Elles sont données dans le tableau ci-après :
Pour b >2, là encore les valeurs de a, m et n s’accroissent très vite . Pour b = 3 et le couple (p,q) = (3,4), on obtient a = 4095, m = 2464 et n = 1952.
