A313 Une divisibilité qui n’en finit plus [**** à la main et avec ordinateur]
Solution
Soit a(i) le i
èmechiffre du nombre N.
En utilisant les tests de divisibilité décrits sur le site
http://mathworld.wolfram.com/DivisibilityTests.html,on obtient les conditions suivantes : a(1) : quelconque
a(2): pair
a(3): a(1) + a(2) + a(3) divisible par 3 a(4): 10*a(3) + a(4) divisible par 4 a(5) =0 ou 5
a(6): a(4) + a(5) + a(6) pair et divisible par 3
a(7): a(7) + 3*a(6) + 2*a(5) - a(4) - 3*a(3) - 2*a(2) + a(1) divisible par 7 a(8): 100*a(6) + 10*a(7) + a(8) divisible par 8
a(9) : somme des 9 chiffres divisible par 9 a(10) = 0
a(11): a(11) - a(10) + a(9) - a(8) + a(7) - a(6) + a(5) - a(4) + a(3) - a(2) + a(1) divisible par 11 a(12): a(10) + a(11) + a(12) divisible par 3 et 10*a(11) + a(12) divisible par 4
a(13): [a(13) - 3*a(12) - 4*a(11) - a(10) + 3*a(9) + 4*a(8)] + [a(7) - 3*a(6) - 4*a(5) - a(4) + 3*a(3) + 4*a(2)] + a(1) - 3*a(0) divisible par 13
a(14): a(14) + 3*a(13) + 2*a(12) - a(11) - 3*a(10) - 2*a(9) + a(8) divisible par 7 et a(14) pair a(15): a(13) + a(14) + a(15) divisible par 3 et a(15) = 0 ou 5
a(16): 1000*a(13) + 100*a(14) + 10*a(15) + a(16) divisible par 16
a(17) : a(17) – 7*a(16) - 2*a(15) - 3*a(14) + 4*a(13) + 6*a(12) - 8*a(11) + 5*a(10) - a(9) + 7*a(8) + 2*a(7) + 3*a(6) - 4*a(5) - 6*a(4) + 8*a(3) -5*a(2) + a(1) divisible par 17
a(18) : somme des chiffres a(10) à a(18) divisible par 9 et a(18) pair.
a(19) : a(19) - 9*a(18) + 5*a(17) – 7*a(16) + 6*a(15) + 3*a(14) - 8*a(13) - 4*a(12) - 2*a(11) - a(10) + 9*a(9) - 5*a(8) + 7*a(7) - 6*a(6) - 3*a(5) + 8*a(4) + 4*a(3) + 2*a(2) + a(1) divisible par 19
a(20): a(19) pair et a(20)=0
a(21) : a(21) + 3*a(20) + 2*a(19) - a(18) - 3*a(17) - 2*a(16) + a(15) divisible par 7 et a(19) + a(20) + a(21) divisible par 3
a(22) : a(22) - a(21) + a(20) - a(19) + a(18) - a(17) + a(16) - a(15) + a(14) - a(13) + a(12) divisible par 11 et a(22) pair
a(23): a(23) – 13*a(22) + 8*a(21) + 11*a(20) – 5*a(19) - 4*a(18) + 6*a(17) – 9*a(16) + 2*a(15) - 3*a(14) - 7*a(13) - a(12) +13*a(11) – 8*a(10) - 11*a(9) + 5*a(8) + 4*a(7) - 6*a(6) +9*a(5) - 2*a(4) + 3*a(3) + 7*a(2) + a(1) divisible par 23
a(24) : a(24) + a(23) + a(22) divisible par 3 a(25) : 10*a(24) + a(25) divisible par 25
Il est relativement aisé d’obtenir manuellement les résultats suivants pour obtenir les plus grands et les plus petits nombres possibles jusqu’à 16 chiffres. Quelques difficultés apparaissent dans la recherche des nombres à 12 et 13 chiffres.
Au delà de n=16, notamment pour effectuer les tests de divisibilité par les nombres premiers 17, 19 et 23, il est conseillé d’utiliser un ordinateur.
On obtient les résultats suivants :
n n
1 9 1 1
2 9 8 2 1 0
3 9 8 7 3 1 0 2
4 9 8 7 6 4 1 0 2 0
5 9 8 7 6 5 5 1 0 2 0 0
6 9 8 7 6 5 4 6 1 0 2 0 0 0
7 9 8 7 6 5 4 5 7 1 0 2 0 0 0 5
8 9 8 7 6 5 4 5 6 8 1 0 2 0 0 0 5 6
9 9 8 7 6 5 4 5 6 4 9 1 0 2 0 0 0 5 6 4
10 9 8 7 6 5 4 5 6 4 0 10 1 0 2 0 0 0 5 6 4 0
11 9 8 7 6 5 4 5 6 4 0 5 11 1 0 2 0 0 0 5 6 4 0 5
12 9 8 7 6 0 6 9 6 3 0 9 6 12 1 0 2 0 0 0 6 1 6 2 0 6
13 9 8 7 6 0 6 9 6 3 0 9 6 0 13 1 0 2 0 0 6 1 6 2 0 6 0 4 14 9 8 7 6 0 6 9 6 3 0 9 6 0 4 14 1 0 2 0 0 6 1 6 2 0 6 0 4 6 15 9 8 7 6 0 6 9 6 3 0 9 6 0 4 5 15 1 0 2 0 0 6 1 6 2 0 6 0 4 6 5 16 9 8 7 6 0 6 2 4 3 0 3 6 4 2 0 8 16 1 0 2 0 0 6 1 6 2 0 6 0 4 6 5 6 17 9 8 4 8 5 8 7 2 3 0 9 6 3 6 0 0 9 17 1 0 2 0 0 6 1 6 2 0 6 0 4 6 5 6 8 18 9 8 4 4 5 0 6 4 5 0 9 6 1 0 5 6 7 2 18 1 0 8 0 5 4 8 0 1 0 3 6 0 0 0 0 1 8 19 9 8 1 2 5 2 3 2 4 0 3 6 4 6 5 6 7 8 9 19 1 0 8 0 5 4 8 0 1 0 3 6 0 0 0 0 1 8 0 20 9 6 6 8 5 8 9 6 6 0 4 8 3 6 0 0 4 2 6 0 20 1 0 8 0 5 4 8 0 1 0 3 6 0 0 0 0 1 8 0 0 21 9 6 6 8 5 8 9 6 6 0 4 8 3 6 0 0 4 2 6 0 9 21 1 2 3 6 0 6 0 0 9 0 1 2 2 2 5 6 7 2 0 0 9 22 9 6 6 8 5 8 9 6 6 0 4 8 3 6 0 0 4 2 6 0 9 6 22 1 2 3 6 0 6 0 0 9 0 1 2 2 2 5 6 7 2 0 0 9 0 23 7 2 6 4 5 6 5 6 4 0 2 4 1 0 5 6 7 2 4 0 8 2 0 23 1 2 3 6 0 6 0 0 9 0 1 2 2 2 5 6 7 2 0 0 9 0 1 24 4 0 2 8 5 2 1 6 8 0 7 2 9 0 0 8 2 8 0 0 9 2 1 6 24 1 4 4 4 0 8 6 4 5 0 4 8 2 2 5 6 3 6 6 0 3 8 1 6 25 3 6 0 8 5 2 8 8 5 0 3 6 8 4 0 0 7 8 6 0 3 6 7 2 5 25 3 6 0 8 5 2 8 8 5 0 3 6 8 4 0 0 7 8 6 0 3 6 7 2 5
PLUS GRAND NOMBRE PLUS PETIT NOMBRE
