Chapitre I : DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES

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Chapitre I : DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES

I- Divisibilité dans ℤ

1) Définition

Définition 1 : et désignent deux entiers relatifs avec ≠ 0.

Dire que divise signifie qu’il existe un entier relatif tel que = .

Vocabulaire : On dit que « est un diviseur de », ou que « est divisible par » ou encore que « est un multiple de ».

Exemple :

−35 = 5 × −7 = −5 × 7 donc ……… sont des diviseurs de −35.

Remarques :

i. Tout entier relatif possède au moins 4 diviseurs : ………

ii. Tout entier relatif non nul possède un nombre fini de diviseurs compris entre – et . iii. « Zéro » possède une infinité de diviseurs : tous les entiers relatifs non nuls.

2) Propriétés

Propriété 1 : (Conséquence de la définition) et désignent deux entiers relatifs avec ≠ 0.

1) Si divise , alors – divise .

2) Si divise , et si ≠ 0 alors || ≤ ||.

Propriété 2 : Soient et deux entiers relatifs non nuls.

Si divise et divise alors = ou = −.

Propriété 3 : Soient , et trois entiers relatifs (avec ≠ 0 et ≠ 0).

Si divise et divise alors divise .

Exemples :

1) 3 divise 111 et 111 divise 555 donc 3 divise 555.

2) 2 divise 8 et 8 divise 8 donc 2 divise 8.

Remarques :

i. On dit que la divisibilité est transitive.

ii. Si ne divise pas , alors aucun multiple de ne peut diviser : cette remarque est très pratique dans la recherche des diviseurs d’un entier donné.

Propriété 4 : Soient , et trois entiers relatifs (avec ≠ 0).

Si divise à la fois et alors divise toute combinaison linéaire de et , c’est-à-dire tout entier + où et sont des entiers.

Cas particuliers :

i. Si divise à la fois et alors divise la somme + (cas où = = 1)

ii. Si divise à la fois et alors divise la différence − (cas où = 1 et = −1)

Remarque : Cette propriété va vous hanter toute l’année, ne la négligez pas !

2 II – La division euclidienne

Théorème 1 : Soit un entier relatif et un entier naturel non nul.

Il existe un unique couple de nombres entiers relatifs ; tel que = + et 0 ≤ < .

Définition 2 : Soit ∈ ℤ et ∈ ℕ^∗.

Effectuer la division euclidienne de par , c’est trouver l’unique couple ; tel que = + avec (impérativement) 0 ≤ < .

s’appelle le dividende, le diviseur,

le quotient, le reste.

Exemples :

1) Pour = 80 et = 17 :

$% = &' × 3 + 29 mais aussi $% = &' × 4 + 12 Cependant, 29 ≥ 17 alors que 0 ≤ 12 < 17.

La première égalité ne correspond donc pas à la DE de 80 par 17.

On obtient alors = 4 et = 12.

2) Effectuer la DE de −85 par 12

III – Les congruences

Définition 3 : Soit , un entier naturel non nul. Dire que deux entiers relatifs et sont congrus modulo , signifie que − est divisible par ,.

On écrit ≡ [,] ou encore ≡ mod , et on lit « est congru à modulo , ».

Exemple :

17 − 2 = 15 = 5 × 3 on a donc 17 ≡ 2[3] mais aussi 17 ≡ 2[5]

Propriété 5 : Soit , un entier naturel non nul.

Deux entiers relatifs sont congrus modulo , si, et seulement si, ils ont le même reste dans la DE par ,.

Propriété 6 : propriétés de calcul avec les congruences Soit , un entier naturel non nul.

Si , , et ’ sont des entiers relatifs tels que ≡ [,] et ≡ ⁵[,] , alors : + ≡ + ⁵[,]

− ≡ − ⁵[,]

× ≡ × ⁵[,]

⁶≡ ⁶[,] pour tout ∈ ℕ.

Remarque importante : Il n’existe pas de règle avec la division !!!!

Exemple : Démontrons que 1789^789: ≡ −1[10]

1789 = 178 × 10 + 9, on obtient donc 1789 ≡ 9[10] ou encore 1789 = 179 × 10 − 1, on obtient donc aussi 1789 ≡ −1[10] ce qui est plus intéressant pour la suite :

On en déduit que : 1789^789: ≡ −1^789:[10] ce qui donne 1789^789:≡ −1[10]

Remarque : Habituez-vous au nombre 2017 …