Maths expertes – Chapitre 2 Page 1
Chapitre II : DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
I- Divisibilité dans ℤ
1) Définition
Définition 1 : 𝑎 et 𝑏 désignent deux entiers relatifs avec 𝑏 ≠ 0.
Dire que 𝑏 divise 𝑎 signifie qu’il existe un entier relatif 𝑘 tel que 𝑎 = 𝑏𝑘.
Vocabulaire : On dit que « 𝑏 est un diviseur de 𝑎 », ou que « 𝑎 est divisible par 𝑏 » ou encore que « 𝑎 est un multiple de 𝑏 ».
Exemple 1 :
−35 = 5 × (−7) = −5 × 7 donc ……… sont des diviseurs de −35.
Remarque 1 :
i. Tout entier relatif 𝑎 ≠ 1 et − 1 possède au moins 4 diviseurs : ………
ii. Tout entier relatif 𝑎 non nul possède un nombre fini de diviseurs compris entre – |𝑎| et |𝑎|.
iii. « Zéro » possède une infinité de diviseurs : tous les entiers relatifs non nuls.
2) Propriétés
Propriété 1 : (Conséquence de la définition) 𝑎 et 𝑏 désignent deux entiers relatifs avec 𝑏 ≠ 0.
1) Si 𝑏 divise 𝑎, alors – 𝑏 divise 𝑎.
2) Si 𝑏 divise 𝑎, et si 𝑎 ≠ 0 alors |𝑏| ≤ |𝑎|.
Démonstration :
1) Si 𝑏 divise 𝑎, alors, d’après la définition 1, il existe un entier relatif 𝑘 tel que 𝑎 = 𝑏𝑘.
Ce qui donne 𝑎 = (−𝑏)(−𝑘) = (−𝑏)𝑘 où 𝑘 = −𝑘 ∈ ℤ et donc – 𝑏 divise 𝑎.
2) 𝑏 divise 𝑎 donc il existe 𝑘 ∈ ℤ tel que 𝑎 = 𝑏𝑘, ce qui donne |𝑎| = |𝑏𝑘| = |𝑏||𝑘|
𝑎 ≠ 0 donc 𝑘 ≠ 0 et donc |𝑘| ≥ 1 ce qui donne |𝑏||𝑘| ≥ |𝑏| et ainsi |𝑎| ≥ |𝑏|
Propriété 2 : Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs non nuls.
Si 𝑎 divise 𝑏 et 𝑏 divise 𝑎 alors 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 = −𝑏.
Démonstration :
𝑎 divise 𝑏 alors il existe 𝑘 ∈ ℤ tel que 𝑏 = 𝑎𝑘 𝑏 divise 𝑎 alors il existe 𝑘′ ∈ ℤ tel que 𝑎 = 𝑏𝑘′
Ainsi 𝑏 = 𝑎𝑘 = 𝑏𝑘′𝑘
Or 𝑏 ≠ 0 donc 𝑘′𝑘 = 1 et comme 𝑘 et 𝑘’ sont des entiers, 𝑘 = 𝑘’ = 1 ou 𝑘 = 𝑘’ = −1 Ainsi 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 = −𝑏.
Propriété 3 : Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois entiers relatifs (avec 𝑎 ≠ 0 et 𝑏 ≠ 0).
Si 𝑎 divise 𝑏 et 𝑏 divise 𝑐 alors 𝑎 divise 𝑐.
Démonstration :
𝑎 divise 𝑏 alors il existe 𝑘 ∈ ℤ tel que 𝑏 = 𝑎𝑘 𝑏 divise 𝑐 alors il existe 𝑘′ ∈ ℤ tel que 𝑐 = 𝑏𝑘′
On obtient alors 𝑐 = 𝑏𝑘 = 𝑎𝑘𝑘 = 𝑎𝑘 où 𝑘 = 𝑘𝑘′ ∈ ℤ Ainsi 𝑎 divise 𝑐.
Maths expertes – Chapitre 2 Page 2 Exemple 2 :
1) 3 divise 111 et 111 divise 555 donc 3 divise 555.
2) 2 divise 8 et 8 divise 8 donc 2 divise 8 . Remarque 2 :
i. On dit que la divisibilité est transitive.
ii. Si 𝑏 ne divise pas 𝑎, alors aucun multiple de 𝑏 ne peut diviser 𝑎 : cette remarque est très pratique dans la recherche des diviseurs d’un entier donné.
Propriété 4 : Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑑 trois entiers relatifs (avec 𝑑 ≠ 0).
Si 𝑑 divise à la fois 𝑎 et 𝑏 alors 𝑑 divise toute combinaison linéaire de 𝑎 et 𝑏, c’est-à-dire tout entier 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 où 𝑢 et 𝑣 sont des entiers.
Cas particuliers :
i. Si 𝑑 divise à la fois 𝑎 et 𝑏 alors 𝑑 divise la somme 𝑎 + 𝑏 (cas où 𝑢 = 𝑣 = 1)
ii. Si 𝑑 divise à la fois 𝑎 et 𝑏 alors 𝑑 divise la différence 𝑎 − 𝑏 (cas où 𝑢 = 1 et 𝑣 = −1) Remarque 3 : Cette propriété 4 va vous hanter toute l’année, ne la négligez pas !
II – La division euclidienne
Théorème 1 : Soit 𝑎 un entier relatif et 𝑏 un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple de nombres entiers relatifs (𝑞 ; 𝑟) tel que 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 et 0 ≤ 𝑟 < 𝑏.
Démonstration :
Tout d’abord énonçons l’axiome du plus petit élément :
« Tout ensemble non vide de ℕ admet un plus petit élément ».
Existence :
- Cas où 𝑎 est positif :
Soit ℰ l’ensemble des entiers naturels 𝑚 tels que 𝑚𝑏 > 𝑎.
𝑏 est un entier naturel non nul donc 𝑏 ≥ 1 ainsi (𝑎 + 1)𝑏 ≥ 𝑎 + 1 > 𝑎 donc 𝑎 + 1 ∈ ℰ.
On en déduit que ℰ est non vide donc, d’après l’axiome du plus petit élément, ℰ admet un plus petit élément que nous noterons 𝑚 .
Ainsi 𝑚 𝑏 > 𝑎 et (𝑚 − 1)𝑏 ≤ 𝑎.
En posant 𝑞 = 𝑚 − 1 et 𝑟 = 𝑎 − 𝑏𝑞 , on a l’égalité 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 Vérifions que 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 :
𝑟 = 𝑎 − 𝑏𝑞 = 𝑎 − 𝑏(𝑚 − 1) = 𝑎 − 𝑚 𝑏 + 𝑏
𝑚 𝑏 > 𝑎 ⇒ 𝑎 − 𝑚 𝑏 < 0 ⇒ 𝑎 − 𝑚 𝑏 + 𝑏 < 𝑏 ⇒ 𝑟 < 𝑏 (𝑚 − 1)𝑏 ≤ 𝑎 ⇒ 𝑎 − 𝑏(𝑚 − 1) ≥ 0 ⇒ 𝑟 ≥ 0
- Cas où 𝑎 est négatif :
On considère alors le nombre −𝑎 qui est positif.
D’après le cas précédent, il existe un couple de nombres entiers relatifs (𝑞 ; 𝑟) tel que −𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 et 0 ≤ 𝑟 < 𝑏
Ainsi 𝑎 = −𝑏𝑞 − 𝑟 = 𝑏(−𝑞) − 𝑟
Si 𝑟 = 0, le quotient est −𝑞 ∈ ℤ et le reste est 0.
Si 𝑟 > 0, 𝑎 = 𝑏(−𝑞 − 1) + 𝑏 − 𝑟 où 0 < 𝑏 − 𝑟 < 𝑏 Ainsi le quotient est −𝑞 − 1 ∈ ℤ et le reste est 𝑏 − 𝑟
Maths expertes – Chapitre 2 Page 3 Unicité :
On suppose qu’il existe deux couples (𝑞 ; 𝑟) et (𝑞′ ; 𝑟′) vérifiant la propriété.
On a ainsi 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 = 𝑏𝑞 + 𝑟 ⇒ 𝑏(𝑞 − 𝑞 ) = 𝑟 − 𝑟 Or 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 donc −𝑏 < −𝑟 ≤ 0 et 0 ≤ 𝑟′ < 𝑏
Au passage à la somme dans l’encadrement, on obtient : −𝑏 < 𝑟 − 𝑟 < 𝑏
Ainsi −𝑏 < 𝑏(𝑞 − 𝑞 ) < 𝑏 : 𝑏(𝑞 − 𝑞 ) est un multiple de 𝑏 compris entre −𝑏 et 𝑏, il ne peut s’agir que de 0 : on en déduit que 𝑟 − 𝑟 = 0 ⇒ 𝑟 = 𝑟 et 𝑏(𝑞 − 𝑞 ) = 0 ⇒ 𝑞 = 𝑞′.
En conclusion, le couple (𝑞 ; 𝑟) est unique.
Définition 2 : Soit 𝑎 ∈ ℤ et 𝑏 ∈ ℕ∗.
Effectuer la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏, c’est trouver l’unique couple (𝑞 ; 𝑟) tel que 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 avec (impérativement) 0 ≤ 𝑟 < 𝑏.
𝑎 s’appelle le dividende, 𝑏 le diviseur,
𝑞 le quotient, 𝑟 le reste.
Exemple 3 :
1) Pour 𝑎 = 80 et 𝑏 = 17 :
𝟖𝟎 = 𝟏𝟕 × 3 + 29 mais aussi 𝟖𝟎 = 𝟏𝟕 × 4 + 12 Cependant, 29 ≥ 17 alors que 0 ≤ 12 < 17.
La première égalité ne correspond donc pas à la DE de 80 par 17.
On obtient alors 𝑞 = 4 et 𝑟 = 12.
2) Pour 𝑎 = −85 et 𝑏 = 12 85 = 84 + 1 = 12 × 7 + 1
⇒ −85 = 12 × (−7) − 1 = 12 × (−7) − 12 + 12 − 1 = 12 × (−8) + 11 On obtient alors 𝑞 = −8 et 𝑟 = 11 < 12
III – Les congruences
Définition 3 : Soit 𝑛 un entier naturel non nul. Dire que deux entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 sont congrus modulo 𝑛 signifie que 𝑎 − 𝑏 est divisible par 𝑛.
On écrit 𝑎 ≡ 𝑏[𝑛] ou encore 𝑏 ≡ 𝑎[𝑛] et on lit « 𝑎 est congru à 𝑏 modulo 𝑛 » ou « 𝑏 est congru à 𝑎 modulo 𝑛 »
Exemple 4 :
17 − 2 = 15 = 5 × 3 on a donc 17 ≡ 2[3] mais aussi 17 ≡ 2[5]
Propriété 5 : Soit 𝑛 un entier naturel non nul.
Deux entiers relatifs sont congrus modulo 𝑛 si, et seulement si, ils ont le même reste dans la DE par 𝑛.
Démonstration :
Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs. Effectuons la DE par 𝑛 : 𝑎 = 𝑛𝑞 + 𝑟 et 𝑏 = 𝑛𝑞 + 𝑟′ où q et q’ sont deux entiers relatifs, 0 ≤ 𝑟 < 𝑛 et 0 ≤ 𝑟′ < 𝑛.
𝑎 − 𝑏 = (𝑛𝑞 + 𝑟) − (𝑛𝑞 + 𝑟 ) = 𝑛(𝑞 − 𝑞 ) + 𝑟 − 𝑟′
- On suppose que 𝑎 et 𝑏 ont le même reste dans la DE par 𝑛 On a donc 𝑟 = 𝑟′ et donc 𝑎 − 𝑏 = 𝑛(𝑞 − 𝑞 ) :
On en déduit que 𝑎 − 𝑏 est divisible par 𝑛 donc 𝑎 et 𝑏 sont congrus modulo 𝑛.
Maths expertes – Chapitre 2 Page 4 - On suppose que 𝑎 et 𝑏 sont congrus modulo 𝑛 :
𝑎 − 𝑏 est donc divisible par 𝑛 donc il existe 𝑘 ∈ ℤ tel que 𝑎 − 𝑏 = 𝑛𝑘
Or 𝑎 − 𝑏 = 𝑛(𝑞 − 𝑞 ) + 𝑟 − 𝑟′ donc 𝑛𝑘 = 𝑛(𝑞 − 𝑞 ) + 𝑟 − 𝑟 ⇔ 𝑛(𝑘 − 𝑞 + 𝑞 ) = 𝑟 − 𝑟′
0 ≤ 𝑟 < 𝑛 et 0 ≤ 𝑟′ < 𝑛 impliquent comme dans la démonstration du théorème 1 que −𝑛 < 𝑟 − 𝑟 < 𝑛 𝑛(𝑘 − 𝑞 + 𝑞 ) est un multiple de 𝑛 compris entre −𝑛 et 𝑛, il ne peut s’agir que de 0 : on en déduit que 𝑟 − 𝑟 = 0 ⇒ 𝑟 = 𝑟
Ainsi 𝑎 et 𝑏 ont le même reste dans la DE par 𝑛.
Conclusion : on a démontré l’équivalence entre « 𝑎 et 𝑏 ont le même reste dans la DE par 𝑛 » et « 𝑎 et 𝑏 sont congrus modulo 𝑛 ».
Propriété 6 :
Soit 𝑛 un entier naturel non nul et 𝑎, 𝑏 et 𝑐 des entiers relatifs.
1) 𝑎 ≡ 0[𝑛] ⇔ 𝑎 est divisible par 𝑛.
2) 𝑎 ≡ 𝑎[𝑛]
3) Si 𝑎 ≡ 𝑏[𝑛] et 𝑏 ≡ 𝑐[𝑛] alors 𝑎 ≡ 𝑐[𝑛]
Démonstration :
1) et 2) immédiats d’après la définition 3.
3) 𝑎 ≡ 𝑏[𝑛] ⇒ 𝑛 divise 𝑎 − 𝑏 et 𝑏 ≡ 𝑐[𝑛] ⇒ 𝑛 divise 𝑏 − 𝑐
On en déduit que 𝑛 divise (𝑎 − 𝑏) + (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 − 𝑐 d’après la propriété 4, et donc 𝑎 ≡ 𝑐[𝑛].
Propriété 7 : propriétés de calcul avec les congruences
Soit 𝑛 un entier naturel non nul et 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 des entiers relatifs.
1) Si 𝑎 ≡ 𝑏[𝑛] , alors 𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑐[𝑛]
2) Si 𝑎 ≡ 𝑏[𝑛] et 𝑐 ≡ 𝑑[𝑛] , alors 𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑑[𝑛]
3) Si 𝑎 ≡ 𝑏[𝑛] , alors 𝑎 × 𝑐 ≡ 𝑏 × 𝑐[𝑛]
4) Si 𝑎 ≡ 𝑏[𝑛] et 𝑐 ≡ 𝑑[𝑛] , alors 𝑎 × 𝑐 ≡ 𝑏 × 𝑑[𝑛]
5) Si 𝑎 ≡ 𝑏[𝑛] , alors, pour tout entier naturel non nul 𝑝, 𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛].
Remarque 4 : On dit que l’addition et la multiplication sont compatibles avec les congruences mais attention, la division ne l’est pas : 5 × 4 ≡ 5 × 6[10] mais 4 et 6 ne sont pas congrus modulo 10.
Démonstration :
1) 𝑎 − 𝑏 = 𝑛𝑘 où 𝑘 ∈ ℤ ⇒ (𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 − 𝑏 = 𝑛𝑘 …
2) 𝑎 − 𝑏 = 𝑛𝑘 où 𝑘 ∈ ℤ et 𝑐 − 𝑑 = 𝑛𝑘 où 𝑘 ∈ ℤ ⇒ (𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑑) = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑 = 𝑛(𝑘 + 𝑘 ) … 3) 𝑎 − 𝑏 = 𝑛𝑘 où 𝑘 ∈ ℤ ⇒ 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 = 𝑐(𝑎 − 𝑏) = 𝑛(𝑐𝑘) …
4) 𝑎 − 𝑏 = 𝑛𝑘 où 𝑘 ∈ ℤ et 𝑐 − 𝑑 = 𝑛𝑘 où 𝑘 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 = 𝑏 + 𝑛𝑘 𝑒𝑡 𝑐 = 𝑑 + 𝑛𝑘′
⇒ 𝑎𝑐 = (𝑏 + 𝑛𝑘)(𝑑 + 𝑛𝑘 ) = 𝑏𝑑 + 𝑛(𝑘𝑑 + 𝑘 𝑏 + 𝑛𝑘𝑘 ) ⇒ 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 = 𝑛𝑘 … 5) Récurrence sur 𝑝 : pour p=1 c’est évident, la propriété est donc initialisée.
Supposons que 𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛] et montrons que 𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛].
On sait que 𝑎 ≡ 𝑏[𝑛] et que 𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛] donc d’après le point 4, 𝑎 × 𝑎 ≡ 𝑏 × 𝑏 [𝑛]
On obtient bien 𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛]…
Exemple 5 : Démontrons que 1789 ≡ 1[10]
1789 = 178 × 10 + 9, on obtient donc 1789 ≡ 9[10] ou encore 1789 = 179 × 10 − 1, on obtient donc aussi 1789 ≡ −1[10] ce qui est plus intéressant pour la suite.
On en déduit que : 1789 ≡ (−1) [10] ce qui donne 1789 ≡ 1[10]
Remarque 5 : Habituez-vous au nombre 2022 …
