Chapitre I : Divisibilités - Congruences

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Chapitre I : Divisibilités - Congruences

I- Diviseurs, multiples dans

ℤ

:

Définition 1 : Soit a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b s'il existe un entier naturel q tel b=a×q. On note alors

a |b

. On dit aussi dans ce cas que a est un diviseur de b ou que b est un multiple de a.

Remarque : On note D(b) l'ensemble de tous les diviseurs de b.

Exemples :

1. Donner tous les diviseurs positifs de 24, tous les diviseurs de 4.

2. Donner les multiples de 3.

Théorème 1 : Soit a, b et c des entiers relatifs non nul.

1. Si

a |b

et

b | c

alors

a | c

.

2. Si c|a et c|b alors c divise toute combinaison linéaire à coefficients entiers relatifs c'est-à dire c divise

u×a v×b

, pour tout couple d'entiers relatifs (u , v).

3. Si

a |b

alors

∣a∣∣ b∣

Démonstration : Remarque :

1. Cas particulier du 2. : si c|a et c|b alors c divise

a b

et c divise

a−b

. 2. Les seuls diviseurs de 1 sont -1 et 1.

3. Si a|b et b|a alors

a=b

ou

a=−b

. Théorème 2 : Soit a et b deux entiers relatifs.

1. Pour tout entier naturel n,

a−b

divise aⁿ−bⁿ^. 2. Pour tout entier naturel impair n, ab divise

a

ⁿ

b

ⁿ^. Démonstration :

II – Division euclidienne :

Propriété 1 : Si b est un entier naturel non nul, alors pour tout entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que

anb

. On dit que

ℕ

est archimédien.

Démonstration :

Propriété 2 : (admise)Toute partie non vide de

ℕ

admet un plus petit élément.

Théorème 3 : Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul, alors il existe un couple unique d'entiers relatifs

q , r 

tel que :

a=b× q r

avec

0 r b

.

Déterminer q et r, c'est effectuer la division euclidienne de a par b.

a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

Démonstration :

Remarque : b divise a si et seulement si

r =0

.

Corollaire 1 : Soit b un entier naturel. Tout entier relatif a peut s'écrire de l'une des façons suivantes :

bk , bk 1, bk 2, bk 3, ⋯, bk b−1

avec k décrivant

ℤ

.

Démonstration : Cas particuliers :

● Tout entier naturel peut s'écrire 2k ou 2k1.

● Tout entier naturel peut s'écrire

3 k

ou

3 k 1

ou

3 k 2

. III - Nombres premiers :

Définition 2 : Un nombre entier naturel est un nombre premier s'il admet exclusivement deux diviseurs distincts 1 et lui-même.

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Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont des nombres premiers.

Remarques :

● 1 n'est pas un nombre premier.

● Les nombres pairs différents de 2 ne sont pas premiers.

Définition 3 :

1. Un nombre entier non premier est dit composé.

2. Soit a un diviseur d'un entier naturel b. Si a est différent de 1 et de b, alors a est appelé diviseur strict de b.

Théorème 4 : Tout entier naturel a supérieur où égal à 2 possède un diviseur premier.

Démonstration :

Théorème 5 : Tout entier naturel a supérieur où égal à 2 est premier ou produit de nombres premiers.

Démonstration :

Remarque :

a= p '

₁

× p '

₂

×⋯ p '

_m avec

 p '

_i



_1_i_m nombres premiers.

Certains des

p '

_i peuvent être égaux, a s'écrit donc sous la forme

a= p

₁^¹

× p

₂^²

×⋯p

_n^ⁿ^{, les}^p_i étant alors tous distincts.

Définition 4 : Écrire un entier naturel a sous la forme

a= p

₁^¹

× p

₂^²

×⋯ p

_n^ⁿ s'appelle décomposer cet entier naturel a en produit de facteurs premiers.

Exemple : Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers suivants : 180; 127400

Théorème 6 : (admis) La décomposition d'un entier naturel en produit de facteurs premiers est unique.

Théorème 7 : L'ensemble des nombres premiers possède une infinité d'éléments.

Démonstration :

IV - Congruences dans

ℤ

:

Définition 5 : Soit a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel

n2

.

On dit que a est congru à b modulo n si a et b ont même reste dans la division euclidienne par n.

On note : a≡b [n] ou

a ≡b mod n 

Exemple :

86≡23≡ 2 [ 7 ]

.

Théorème 8 : Soit a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel

n2

.

a ≡b [ n]

si et seulement si

a−b

est un multiple de n.

Démonstration :

Exemple :

86≡23≡−5 [7 ]

. Remarques :

1. Si le reste de la division euclidienne de a par n est r alors

a ≡r [ n]

. Réciproque fausse sauf si

0r n

2.

a≡a [n ]

.

Théorème 9 : Soit n un entier naturel

n2

et a, b, c, a' et b' des entiers relatifs 1. Si a≡b [n] alors ac≡bc [n].

2. Si

a ≡b [ n]

et

b≡c [n ]

alors

a ≡c [ n ]

.

3. Si a≡b [n] et a '≡b ' [n] alors aa '≡bb' [n], a−a '≡b−b' [n] et a a '≡bb ' [n]. 4. Si a≡b [n] alors pour tout entier naturel p on a :

a

^p

≡b

^p

[ n]

^.

Démonstration :

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