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Chapitre n°1 : Divisibilité et dividion euclidienne dans Z
Objectifs :
m1. Divisibilité dans Z m2. Division euclidienne.
Activité d'approche n°1 : triangle rectangle
1. Un triangle rectangle a des côtés de longueurs entières. L’un des côtés de l’angle droit a pour longueur 6. On aimerait déterminer les longueurs des autres côtés.
a. En notant x et y les longueurs cherchées (avec x > y), justifier que l’on doit avoir (x – y)(x + y) = 36.
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b. Quels sont les couples d’entiers naturels (a ; b) vérifiant : ab = 36 ?
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c. En déduire les longueurs cherchées.
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2. Ayant à traiter un grand nombre de tels triangles, on cherche à systématiser la recherche des couples (a ; b) tels que ab = n où n est un entier naturel non nul.
a. La fonction DIV renvoie le quotient de la division euclidienne de a par b. Soit n et j deux entiers naturels, traduire « j est un diviseur de n » avec la fonction DIV.
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b. Écrire un programme en Python permettant d'avoir la liste des diviseurs
d’un nombre donné.
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d. Quels seront les affichages obtenus lorsqu’on entre n = 36 ? n = 38 ?
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e. Soit a et b deux entiers naturels tels que ab = n avec a < b. montrer que l’on a
a√nb :
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f. Optimiser l'algorithme en tenant compte de f. Indiquer la modification à faire ci-dessous :
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Cours n°1
Chapitre n°1 : Divisibilité et dividion euclidienne dans Z
I) Divisibilité dans Z . Définition n°1
L'entier relatif a divise un entier relatif b s'il existe un entier relatif k tel que
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