Tout d’abord, on démontre que b2011,r2011 et v2011 sont toujours les longueurs des côtés d’un triangle

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E547 – Les 2011 triangles tricolores [**** à la main]

Je trace 2011 triangles (non dégénérés) dont je colorie les côtés en bleu,rouge et vert. Je mesure ensuite la longueur des côtés de tous ces triangles que je classe par ordre croissant selon leur couleur et j’obtiens le tableau suivant :

- longueurs des côtés bleus = b₁b₂ ....b₂₀₁₁ - longueurs des côtés rouges = r₁ r₂ ....r₂₀₁₁ - longueurs des côtés verts = v₁v₂ ....v₂₀₁₁

Puis-je toujours construire au moins un triangle non dégénéré avec des côtés qui ont le même indice i dans ce tableau ?

Puis-je toujours construire au moins deux triangles non dégénérés avec des côtés qui ont respectivement les mêmes indices i et j ?

Solution

Réponse :on peut toujours construire un triangle non dégénéré avec des côtés qui ont le même indice i dans le tableau mais il est impossible de toujours construire deux triangles non dégénérés ou plus qui ont les mêmes indices dans ce même tableau.

Tout d’abord, on démontre que b₂₀₁₁,r₂₀₁₁ et v₂₀₁₁ sont toujours les longueurs des côtés d’un triangle. Supposons sans perte de généralité que v₂₀₁₁r₂₀₁₁b₂₀₁₁. On va démontrer que b2011+r₂₀₁₁ > v₂₀₁₁. En effet, il existe un triangle dont les côtés, respectivement b,r et v pour les couleurs bleu, rouge et vert, sont tels que v₂₀₁₁ = v.Comme les triangles sont non dégénérés, on a l’inégalité stricte b + r > v. Par ailleurs b₂₀₁₁ b et r₂₀₁₁r. De ces trois inégalités, il découle que b₂₀₁₁ + r₂₀₁₁ b + r > v = v₂₀₁₁.

Dans un deuxième temps, on décrit une collection de triangles pour lesquels après classement des longueurs des côtés par ordre croissant pour chaque couleur, v , _i r et _i b avec i < 2011 ne _i sont jamais les dimensions des côtés d’un triangle non dégénéré.

Par exemple pour j = 1,2,..,2011 on trace un côté bleu de dimension 2j, un côté rouge de dimension j pour tout j 2010 et de dimension 4022 pour j = 2011 et un côté vert de dimensions j + 1 pour tout j 2009, 4022 pour j = 2010 et 1 pour j = 2011.D’où le tableau de construction des 2011 triangles.

j Bleu Rouge Vert

1 2 1 2

2 4 2 3

3 6 3 4

….. ….. ….. …..

2009 4018 2009 2010

2010 4020 2010 4022

2011 4022 4022 1

On vérifie bien que pour chaque ligne, le triangle correspondant existe bien :

- si j2009, (j+1) + j > 2j à savoir : vert + rouge > bleu et j + 1 – j = 1 < 2 j à savoir : vert – rouge < bleu

- si j = 2010, 2j + j > 4022 à savoir : bleu + rouge > vert et 4020 – 2010 = 2010 < 4022 à savoir : bleu – rouge < vert.

(2)

- si j = 2011, 4022 + 1 > 2j à savoir : rouge + vert > bleu et 4022 – 1 = 4021 < 4022 à savoir : rouge – vert < bleu.

Après classement des longueurs des côtés par ordre croissant pour chacune des couleurs, on obtient cette fois-ci les relations suivantes v = i, _i r = i et _i b = 2i pour 1 < i _i 2010, on a v + _i

r = i + i = i

2i =b qui ne sont pas les longueurs d’un triangle pour 1 < i _i 2010 car elles correspondent à des triangles tous dégénérés.

i Bleu Rouge Vert

1 2 1 1

2 4 2 2

3 6 3 3

….. ….. ….. …..

2009 4018 2009 2009

2010 4020 2010 2010

2011 4022 4022 4022