Chapitre n°1 : Divisibilité et division euclidienne dans Z
Objectifs :
m1. Divisibilité dans Z m2. Division euclidienne.
Activité d'approche n°1 : triangle rectangle
1. Un triangle rectangle a des côtés de longueurs entières. L’un des côtés de l’angle droit a pour longueur 6. On aimerait déterminer les longueurs des autres côtés.
a. En notant x et y les longueurs cherchées (avec x > y), justifier que l’on doit avoir (x – y)(x + y) = 36.
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b. Quels sont les couples d’entiers naturels (a ; b) vérifiant : ab = 36 ?
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c. En déduire les longueurs cherchées.
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2. Ayant à traiter un grand nombre de tels triangles, on cherche à systématiser la recherche des couples (a ; b) tels que ab = n où n est un entier naturel non nul.
a. La fonction DIV renvoie le quotient de la division euclidienne de a par b.
Soit n et j deux entiers naturels, traduire « j est un diviseur de n » avec la fonction DIV.
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b.
Les instructions de l'algorithme permettant d'avoir la liste des diviseurs ont été mélangées. Les remettre dans l'ordre.
DEBUTPROG
SI …... ALORS Afficher (j, CRLF) ; FINP
POUR j <- 1 JUSQU'A n FAIRE Afficher(« Nombre ? ») ;
FINSI VARIABLES
n : entier ; j : entier ;
PROGRAMME Diviseurs ; Saisir(n) ;
FINPROG
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c. Compléter les pointillés du test « SI » avec un test qui permet de savoir si j divise n.
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d. Utiliser un logiciel sur tablette ou un programme sur calculatrice pour tester cet algorithme.
e. Quels seront les affichages obtenus lorsqu’on entre n = 36 ? n = 38 ?
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f. Soit a et b deux entiers naturels tels que ab = n avec a < b. montrer que l’on a a√nb :
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g. Optimiser l'algorithme en tenant compte de f. Indiquer la modification à faire ci-dessous :
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Cours n°1
Chapitre n°1 : Divisibilité et division euclidienne dans Z
I) Divisibilité dans Z . Définition n°1
L'entier relatif a divise un entier relatif b s'il existe un entier relatif k tel que
…...
On dit aussi que b est un …...
On dit aussi que a est un …...
On note cette relation : a | b .
On note souvent l'ensemble des diviseurs de b par D(b).
Exemple n°1
Donner tous les diviseurs de 12 dans Z :
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Donc
D(12)={ ...
...
Exemple n°2 :
Quel est l'ensemble des diviseurs de 0 ?
...
Donner les diviseurs de 1 :
…...
Donner les diviseurs de –1 :
…...
Soit b un entier relatif. Que contient au moins D(b) :...
Que peut-on dire de D(b) et D(–
b) ?...
Propriété n°1 :
Soient a, b et c trois entiers relatifs.
1. Si a divise b et b divise c, alors …...
2. Si a divise b et a divise c, alors quelques soient les entiers relatifs u et v choisis, a divise …...
3. Si a divise b et que b ≠ 0, alors |a|.... Démonstration :
1.
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2.
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3.
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Exemple n°2 :
Le produit de deux entiers naturels consécutif est-il divisible par 2 ? Justifier.
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...…
Exemple n°3 :
« Soient a, b et c trois entiers relatifs. Supposons que a divise b et que b divise c.
Alors a2 divise bc. ». Est-ce vrai ? Justifier.
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Exemple n°4
Déterminer les entiers x tels que 2 + x | 4
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Exemple n°5
Déterminer les entiers x tels que 2x | 4 .
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Exemple n°6
Déterminer les entiers x tels que 2x + 8 | x – 2
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Attention : on a raisonné uniquement par i...
il faut donc v... :
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Exercice n°1 Ex.8 p.26
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Exercice n°2 Ex.10 p.26
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Exercice n°3 Ex.50 p.28
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Exercice n°4 Ex.51 p.28
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Exercice n°5 Ex.56 p.28
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Activité d'approche n°2 : code barre EAN 13
Les codes-barres, apposés sur de nombreux articles dans le commerce, servent à déterminer numériquement l'identité d'un produit (et donc son prix) : à
chaque code barre est associé un produit et réciproquement. Ce code barre est lu par laser au passage en caisse, ce qui évite d'avoir à saisir le nom du produit et son prix (c'était ce que l'on faisait auparavant!).
Comme la lecture par laser peut être défectueuse (lecture à l'envers, etc.), le code barre contient un système d'auto-contrôle : une « clef ». Il s’agit d'un nombre qui apparaît à la fin du code-barre, et qui doit correspondre à une combinaison calculée des chiffres précédents du code.
Le code EAN 13 est composé de 13 chiffres. Étudions sur un exemple pour voir comment cela fonctionne :
Le laser lit le code 9782278069484. La « clef » vaut donc « 4 » et doit
correspondre à la combinaison des chiffres précédents, combinaison calculée de la façon suivante :
Étape 1 : On calcule la somme S1 des chiffres de rang impair en partant de la gauche,
Étape 2 : S2 la somme des chiffres de rang pair.
Étape 3 : On calcule ensuite S définie par : S = S1 + 3S2 Étape 4 : r est le reste de la division de S par 10.
Étape 5 : La clé de contrôle est 10 – r , si r ≠ 0, sinon la clé est égale à 0.
a. Vérifier que la clé contrôle de l’exemple est correcte. Indiquer ci-dessous vos calculs :
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b. Vérifier que la clé de contrôle du code de votre livre est correcte. Indiquer ci- dessous vos calculs :
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c. À quoi correspond, pour un entier, le reste de la division euclidienne de cet entier par 10 (faites des essais si nécessaire) ?
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d. En justifiant chaque réponse par un calcul, répondre : est-il possible que la clé de contrôle d’un code EAN soit bonne sachant que :
· Le premier et le troisième chiffre du code sont inversés ?
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...
· L’un des douze premiers chiffres du code (un seulement) est faux ?
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· Deux des douze premiers chiffres du code sont faux ?
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...
· Deux chiffres consécutifs sont inversés ?
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e. Peut-on retrouver un chiffre effacé ? Prendre : 3252x37041767, x est le chiffre effacé.
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Cours n°2
II) Division euclidienne dans N .
On admettra comme axiome (c'est à dire comme propriété admise et non démontrable, mais allant de soi) :
Toute partie non vide de l'ensemble des entiers naturels N admet un plus …...t élément.
Propriété n°2
Soient deux nombres entiers naturels a et b, b étant différent de 0. Alors il existe un couple unique de deux entiers naturels q et r, r<b, vérifiant la relation :
a = …...
Démonstration :
Existence :
Supposons que a = 0. Alors le couple …... convient.
Supposons maintenant que
→ a ≠ 0.
Soit A l'ensemble des multiplicateurs n de b tels que nb soit plus grand que a.
(autrement écrit : A={n N, nb>a})
* A n'est pas vide : …...
…...
* Donc, d'après l'axiome, A admet
…...
* Soit n ce plus petit élément. On a …....>.... puisque n appartient à A.
On a aussi a... puisque n est le plus petit élément de A.
* Posons q=n-1 . On a alors : …... ...<...
* Posons r = …...
Alors l'existence est vérifiée, et on a bien r...
Unicité :
Supposons qu'il existe quatre entiers naturels q,q',r et r' tels que a = bq + r et que a = bq' + r'.
Alors 0=...
Donc r – r' =... (1)
Or, r<... et …..., donc …... < r – r' <..., donc …... < b...<...
Donc …... q – q' …...
Or q et q' sont des entiers naturels, donc …...
Donc … = … et d'après (1) … = …
Remarque :
Sans la condition 0<r<b, on n'aurait pas l'unicité. En effet, par exemple : 47=9×5+2 mais on a aussi : 47=9×4+....
Exemple n°7
Voici une égalité : 19 = 5 × 3 + 4.
Traduit-elle la division de 19 par 5 ?
…...
Traduit-elle la division de 19 par 3 ?
…...
Exemple n°8
Soit a=n(n+4)(n–4) où n est un entier naturel supérieur ou égal à 4. Montrer qu'alors a est un multiple de 3.
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III) Division euclidienne dans Z
Propriété n°3
Soient deux nombres entiers relatifs a et b, b étant différent de 0. Alors il existe un couple unique de deux entiers naturels q et r, 0< r<|b| , vérifiant la relation : a = bq + r.
Démonstration :
On généralise la démonstration précédente avec |a| .
Exemple n°9
Déterminer q et r dans les cas suivants : a = 37 et b = 11 :
...
a = 37 et b = –11 :
...
a = – 37 et b = 11 :
...
a = – 37 et b = –11 :
...
Attention : il faut vérifier à chaque fois que r est …... et …...
Exercice n°6 Ex.69 p.29
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Exercice n°7 Ex.74 p.29
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Exercice n°8**
Démontrer que si n2 est pair, n est pair.
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Exercice n°9*
Le numéro INSEE ou numéro de sécurité social est constitué de 13 chiffres :
1er chiffre : le sexe : « 1 » pour homme, « 2 » pour femme.
2ème et 3ème chiffres : les deux derniers chiffres de l'année de naissance.
4ème et 5ème chiffres : mois de naissance.
6ème et 7ème chiffres : département de naissance.
8ème, 9ème et 10ème chiffres : commune de naissance.
11ème, 12ème et 13ème chiffres : numéro d'inscription sur le registre des naissances.
14ème et 15ème chiffres : clé de contrôle.
La clef de contrôle (de deux chiffres) est calculée comme suit : effectuer la soustraction 97 – r où r est le reste de la division euclidienne des 13 premiers chiffres par 97. Si ce nombre est inférieur à 10, on met un zéro devant.
1. Quelle est la clef de contrôle de 2 85 05 33 565 001 ? 2. Le nombre 1 63 08 77 689 027 19 contient-il une erreur ?
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Cours n°3
IV) Congruences
Définition n°2
Soient a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
L'entier a est congru à b modulo n si a et b ont le même reste par la division euclidienne par n.
On note alors a b (n) ou a b [n] ou a b mod n.
Exemple n°10
86=7×12+2 et 23=7×3+2 donc …... ... … mod ...
Propriété n°4
Soient a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
« a …... » est équivalent à « a – b est …... . »
Démonstration :
Si a b (n), alors :
…...
...
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...
...Si a – b est
…..., alors :
...
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Remarques :
→ a 0 (n) signifie que …...
→ a=nq+r a pour conséquence que a .… mod …
Exemple n°11
86 – 23 = 63 = 9 × 7 donc 86 23 […]
2 – (-19) = 21 donc 2 … …. [….]
Propriété n°5
a, b, a',b' et c sont des entiers relatifs.
p est un entiers naturel supérieur à 0.
n est un entiers naturel supérieur à 1.
1. Si a b [n] alors ac ….. [n].
2. Si a b [n] et b c [n] alors … … [n].
3. Si a b [n] et a' b' [n] alors a + a' …... [n].
4. Si a b [n] et a' b' [n] alors a – a' …... [n].
5. Si a b [n] et a' b' [n] alors a a' …... [n]
6. Si a b [n] alors a... b... [n]
Remarque :
Attention, la division ne fonctionne pas : 16 20 [4] mais 8 n'est pas congru à 10 modulo 4.
Exemple n°12
Démontrer que 671800 – 1 est divisible par 6.
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...…
Exemple n°13
Déterminer les entiers x tels que 2 + x 4 [6]
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...…
Exemple n°14
Déterminer les entiers x tels que 2 + 3x x + 4 [6]
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...…
Exercice n°10 Ex.106 p.31
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Exercice n°11*
Ex.107 p.31
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Exercice n°12*
Ex.114 p.31
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Exercice n°13*
Ex.120 p.31
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Exercice n°14**
Ex.121 p.31
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Exercice n°15*** Correctif : il faut lire « on se propose de déterminer les couples
(n ; m) d’entiers… » et non (m ; n).
Sujet A p.37
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Résultats et indices
Ex.1 (Ex8 p.26) : Oui.
Ex.2 (Ex10 p.26) : Non.
Ex.3 (Ex50 p.28) : -3 et -2 Ex.4 (Ex51 p.28) : -7 et -1
Ex.5 (Ex56 p.28) : 1. développer... 2. idem...
Ex.6 (Ex69 p.29) : b=646 et q=2, ou b=1292 et q=1.
Ex.7 (Ex74 p.29) : n-3 pour n3. Pour n=0 : 1 ; pour n=1 : 1 ; pour n=2 : 3.
Ex.8 : Contraposée...
Ex.9 : 1.91 2. Oui.
Ex.10 (Ex106 p.31) : 1. 5k – 1, k ∈ Z 2. 104 Ex.11 (Ex107 p.31) : 1. 5k + 4, k ∈ Z 2. idem.
Ex.12 (Ex114 p.31) : 3n ≡ 1 si n est pair, 3n ≡ 3 sinon.
Ex.13 (Ex120 p.31) : Disjonction des cas (tableau)...
Ex.14 (Ex121 p.31) : 72n=(72)n...
Ex.15 (Sujet A p.37) : 1. (1;1) et (2;4) 2.a.Si m>4, alors 2m ≡ … (32). 2.b. Tableau de 7n en fonction du reste de la division de n par 4. 2.c. Conséquence de 2.b. et de 74 ≡ … (5). 2.d. Non (par l'absurde). 3. (1;1) et (2;4) .
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Travail à faire pour la prochaine fois :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
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Date : …...
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