A135 – Les tours des puissances de 2 Solution
Question n°1
Toutes les puissances n de 2 pour n variant de 0 à 10 peuvent être empilées dans une seule et même tour dont la hauteur est égale à 11 et dont les fondations, sommes de tous les chiffres appartenant à une même colonne, sont uniformément égales à 23 :
La tour suivante est obtenue pour n’ = 19. Les fondations, sommes de tous les chiffres appartenant à une même colonne, sont uniformément égales à 44 :
Question n°2
On considère les tours définies par leur largeur L et la fondation f commune à toutes les colonnes. On retient les tours dont la hauteur h hors fondations est la plus petite possible :
L=2
5 2 4 2 8 8 2 6 2 1 4 4 1 3 1 0 7 2 6 5 5 3 6 3 2 7 6 8 1 6 3 8 4 8 1 9 2
4 0 9 6 2 0 4 8 1 0 2 4 5 1 2 2 5 6
1 2 8 6 4
3 2 1 6 8
4 2 1
44 44 44 44 44 44 5 1 2
2 5 6 1 2 8 6 4 3 2 1 6 8 4 2
1 23 23 23
L=3
L=4
f= 3 4 6 7 8 9 10 11 12
h= 2 3 2 4 3 4 4 4 4
3 2 3 2 6 4 1 6 6 4 1 6 6 4 6 4 6 4
1 2 2 4 4 8 3 2 1 6 3 2
3 3 1 6 6 2 2 2 4 4 1 6
4 4 1 8 8 1 1 1 2
7 7 9 9 10 10 11 11 12 12
f= 4 5 6 7 8 9 10 11
h= 4 4 3 4 4 6 5 5
3 2 5 1 2 2 5 6 2 5 6 5 1 2 5 1 2 2 5 6 2 5 6
4 4 4 3 2 3 2 3 2 6 4 1 6
2 2 1 2 1 6 1 6 4 8
1 1 6 6 6 1 4 4 2 4
4 4 4 5 5 5 7 7 7 8 8 8 2 1 1
1 10 10 10 11 11 11 9 9 9
f= 12 13 14 15 16 18 20 23
h= 5 6 6 6 6 7 8 10
1 2 8 5 1 2 2 5 6 2 5 6 5 1 2 2 5 6 5 1 2 5 1 2
6 4 1 2 8 1 2 8 1 2 8 2 5 6 1 2 8 2 5 6 2 5 6
3 2 6 4 1 6 3 2 1 2 8 6 4 1 2 8 1 2 8
8 1 6 8 1 6 6 4 1 6 6 4 6 4
2 2 2 8 4 8 1 6 3 2
12 12 12 1 1 1 2 4 8 1 6
13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 1 2 8
18 18 18 1 4
20 20 20 2 1 23 23 23
L=5
f= 6 7 8 10 11 12
h= 3 5 5 5 7 6
2 5 6 2 5 6 2 0 4 8 4 0 9 6 2 0 4 8 8 1 9 2
6 4 1 6 6 4 5 1 2 5 1 2 1 0 2 4
1 3 2 3 2 6 4 6 4 5 1 2
6 6 6 6 2 2 2 3 2 1 6
1 1 1 4 4
7 7 7 7 8 8 8 8 10 10 10 10 2 2
1 12 12 12 12 11 11 11 11
13 14 15 16 17 18 19
8 6 7 6 9 9 9
2 0 4 8 4 0 9 6 4 0 9 6 8 1 9 2 8 1 9 2 4 0 9 6 8 1 9 2
5 1 2 2 5 6 2 5 6 2 0 4 8 1 2 8 2 0 4 8 2 0 4 8
6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 1 0 2 4 5 1 2
3 2 8 3 2 3 2 3 2 6 4 1 2 8
8 4 8 1 6 1 6 1 6 3 2
4 2 4 8 8 8 1 6
2 14 14 14 14 1 16 16 16 16 4 4 8
1 15 15 15 15 2 2 2
13 13 13 13 1 1 1
17 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 19
20 21 22 24
8 9 10 9
8 1 9 2 8 1 9 2 8 1 9 2 8 1 9 2
4 0 9 6 4 0 9 6 2 0 4 8 4 0 9 6
1 2 8 5 1 2 5 1 2 2 0 4 8
6 4 1 2 8 2 5 6 1 2 8
1 6 6 4 1 2 8 6 4
8 3 2 1 6 3 2
4 8 8 1 6
1 2 4 8
20 20 20 20 1 2 2
21 21 21 21 1 24 24 24 24
22 22 22 22
f= 8 10 11 12 13
h= 5 6 8 6 10
3 2 7 6 8 3 2 7 6 8 4 0 9 6 6 5 5 3 6 1 0 2 4
1 6 1 0 2 4 1 0 2 4 5 1 2 5 1 2
4 6 4 6 4 6 4 2 5 6
2 4 3 2 3 2 6 4
1 2 1 6 8 3 2
8 8 8 8 8 1 4 4 1 6
10 10 10 10 10 2 12 12 12 12 12 8
1 4
11 11 11 11 11 2
1 13 13 13 13 13
14 15 16 17 18 19
5 7 7 11 10 8
6 5 5 3 6 6 5 5 3 6 3 2 7 6 8 8 1 9 2 1 6 3 8 4 6 5 5 3 6
8 1 9 2 3 2 7 6 8 4 0 9 6 1 0 2 4 8 1 9 2 3 2 7 6 8
4 0 9 6 6 4 2 0 4 8 5 1 2 1 0 2 4 1 6 3 8 4
4 1 6 6 4 2 5 6 5 1 2 1 6
2 4 8 6 4 1 2 8 8
14 14 14 14 14 2 2 3 2 6 4 4
1 1 1 6 3 2 2
15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 8 4 1
4 2 19 19 19 19 19
2 1
1 18 18 18 18 18 17 17 17 17 17
20 21 22 23 24
8 11 10 9 9
6 5 5 3 6 6 5 5 3 6 6 5 5 3 6 6 5 5 3 6 6 5 5 3 6
8 1 9 2 1 6 3 8 4 1 6 3 8 4 3 2 7 6 8 3 2 7 6 8
2 0 4 8 1 0 2 4 4 0 9 6 1 6 3 8 4 4 0 9 6
5 1 2 5 1 2 1 0 2 4 1 2 8 1 0 2 4
1 2 8 2 5 6 5 1 2 6 4 5 1 2
6 4 6 4 1 2 8 3 2 2 5 6
8 3 2 6 4 1 6 6 4
4 8 3 2 8 8
20 20 20 20 20 4 2 1 4
2 1 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24
1 22 22 22 22 22 21 21 21 21 21
L=6
25 26 27 28 32
12 11 13 12 12
6 5 5 3 6 6 5 5 3 6 6 5 5 3 6 6 5 5 3 6 6 5 5 3 6
1 6 3 8 4 3 2 7 6 8 3 2 7 6 8 3 2 7 6 8 3 2 7 6 8
8 1 9 2 1 6 3 8 4 4 0 9 6 1 6 3 8 4 1 6 3 8 4
2 0 4 8 2 5 6 1 0 2 4 4 0 9 6 4 0 9 6
1 0 2 4 1 2 8 5 1 2 1 0 2 4 2 0 4 8
6 4 6 4 2 5 6 5 1 2 1 0 2 4
3 2 3 2 6 4 6 4 5 1 2
1 6 1 6 3 2 3 2 2 5 6
8 8 1 6 1 6 6 4
4 2 8 8 3 2
2 1 4 2 1 6
1 26 26 26 26 26 2 1 4
25 25 25 25 25 1 28 28 28 28 28 32 32 32 32 32
27 27 27 27 27
f= 8 10 11 12 14
h= 6 7 8 7 9
5 2 4 2 8 8 1 3 1 0 7 2 2 6 2 1 4 4 5 2 4 2 8 8 6 5 5 3 6
3 2 8 1 9 2 1 3 1 0 7 2 2 6 2 1 4 4 8 1 9 2
1 6 3 2 2 5 6 5 1 2 1 0 2 4
4 1 6 3 2 3 2 5 1 2
2 8 8 8 6 4
1 4 4 2 2
8 8 8 8 8 8 2 2 1 1 6
10 10 10 10 10 10 1 12 12 12 12 12 12 4
11 11 11 11 11 11 1
14 14 14 14 14 14
15 16 18 19 20
9 7 10 10 9
6 5 5 3 6 5 2 4 2 8 8 5 2 4 2 8 8 2 6 2 1 4 4 5 2 4 2 8 8
1 6 3 8 4 6 5 5 3 6 6 5 5 3 6 1 3 1 0 7 2 2 6 2 1 4 4
2 5 6 5 1 2 4 0 9 6 6 5 5 3 6 6 5 5 3 6
6 4 8 1 9 2 5 1 2 8 1 9 2 4 0 9 6
3 2 8 3 2 5 1 2 6 4
8 4 1 6 6 4 1 6
4 2 8 3 2 8
2 16 16 16 16 16 16 4 8 2
1 2 4 1
15 15 15 15 15 15 1 1 20 20 20 20 20 20
18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19
sans oublier la tour de largeur 6 et de fondation 44 qui utilise toutes les puissances de 2 comprises entre 0 et 19.
11 11 10 13 15
2 6 2 1 4 4 5 2 4 2 8 8 5 2 4 2 8 8 5 2 4 2 8 8 5 2 4 2 8 8
6 5 5 3 6 2 6 2 1 4 4 6 5 5 3 6 2 6 2 1 4 4 2 6 2 1 4 4
1 6 3 8 4 1 3 1 0 7 2 3 2 7 6 8 1 3 1 0 7 2 3 2 7 6 8
8 1 9 2 6 5 5 3 6 4 0 9 6 6 5 5 3 6 1 6 3 8 4
1 2 8 8 1 9 2 2 0 4 8 3 2 7 6 8 8 1 9 2
6 4 5 1 2 6 4 2 0 4 8 2 0 4 8
3 2 1 2 8 3 2 5 1 2 5 1 2
1 6 3 2 1 6 2 5 6 2 5 6
8 4 8 3 2 1 2 8
4 2 1 8 6 4
1 1 24 24 24 24 24 24 4 3 2
22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 2 8
1 4
28 28 28 28 28 28 2 1
32 32 32 32 32 32
