D101-Petit triangle deviendra grand Solution
1ère question
C’est un problème classique de mesure de l’aire d’un triangle décomposé en triangles plus petits et adjacents entre eux. C’est ainsi que la surface du triangle EFG que l’on désignera par (EFG) est égale à (EFG) = (ABC) +(ABE) + (BCF) + (CAG) + (AEG) + (BFE) + (CGF).
Si l’on désigne par S la surface du triangle ABC, on a la relation suivante (ABE) = p*S. En effet les deux triangles ABC et ABE ont même hauteur issue de A et les bases respectives des triangles sont a et p*a. De la même manière, on peut écrire (BCF) = q*S et (CAG) = r*S. Puis comme AEG est adjacent à ABE, on a la relation (AEG) = r*(ABE) = p*r*S. On a enfin (BFE) = p*q*S et (CGF) = q*r*S.
Il en résulte que (EFG) = S + p*S + q*S + r*S + p*q*S + p*r*S + q*r*S = S*(1+ p + q + r + p*q +p*r + q*r). L’objectif est de trouver p, q et r tels que 1+ p + q + r + p*q +p*r + q*r = K avec K=2,3,…,25
p, q et r sont des rationnels. Ils peuvent s’exprimer sous la forme p = p1/ p2, q = q1/ q2 et r = r1/ r2 avec p1, p2 , q1 ,q2, r1 et r2 entiers positifs.
Il s’agit donc de trouver les entiers p1, p2 , q1 ,q2, r1 et r2 les plus petits possibles tels que p1*r2*(q1 + q2) + p2*q1*(r1 + r2 ) + q2*r1*(p1 + p2 ) = (K-1) p2*q2*r2.
Le tableau ci-après donne une panoplie de valeurs possibles des p1, p2 , q1 ,q2, r1 et r2 en fonction de K. Elle a été établie en s’imposant p1 = 1, p2 = 1, q1 = 1… et en faisant varier préférentiellement r2 puis r1 puis q2…
Quand tous les termes p1, p2 , q1 ,q2, r1 et r2 sont égaux à 1 on retrouve le cas bien connu de la trisection cévienne du triangle ABC de côtés a, b et c. Sur chaque côté du triangle on choisit dans le sens des aiguilles d’une montre les points I,J et K situés respectivement sur BC,CA et AB à a/3 de B, à b/3 de C et c/3 de A. Les droites AI, BJ et CK se coupent en P,Q et R et définissent un triangle PQR dont l’aire est le septième de l’aire du triangle d’origine ABC.
On observe que l’on peut établir la panoplie complète des 24 surfaces multiples de la surface d’origine de façon très « économique » avec des nombres rationnels dont numérateurs et dénominateurs sont tous inférieurs ou égaux à 10.
2ème question
Le tableau précédent montre que l’on a utilisé le nombre 7 maudit par l’arpenteur. Examinons successivement les valeurs des coefficients K qui peuvent être obtenues en se restreignant dans le choix des entiers p1, p2 , q1 ,q2, r1 et r2 Cela revient à choisir ces six termes d’abord dans l’ensemble (1,2) puis (1,2,3) puis (1,2,3,4) etc… Voici les résultats auxquels on aboutit :
p1 p2 q1 q2 r1 r2 ratio (EFG) /
(ABC)
1 5 1 5 2 5 2
1 1 1 3 1 7 3
1 1 1 2 2 5 4
1 1 1 1 1 3 5
1 1 1 1 2 3 6
1 1 1 1 1 1 7
1 1 1 1 4 3 8
1 1 1 1 5 3 9
1 1 1 1 2 1 10
1 1 1 1 7 3 11
1 1 1 1 8 3 12
1 1 1 1 3 1 13
1 1 1 1 10 3 14
1 1 1 8 6 1 15
1 1 1 1 4 1 16
1 1 1 9 7 1 17
1 1 1 2 6 1 18
1 1 1 1 5 1 19
1 1 1 5 8 1 20
1 1 3 10 8 1 21
1 1 1 1 6 1 22
1 1 1 2 8 1 23
1 1 1 6 10 1 24
1 1 1 1 7 1 25
En utilisant uniquement les entiers (1,2,3,4,5) on peut reconstituer toutes les surfaces, à l’exception de la « récalcitrante » 17 qui se fait absorber sans difficultés dès l’introduction du nombre 6. Diophante a pu dormir tranquille. Son arpenteur n’a pas eu besoin d’utiliser le chiffre 7.
ensembles
retenus p1 p2 q1 q2 r1 r2 ratio (EFG) /
(ABC)
(1,2) 1 1 1 1 1 1 7
1 1 1 2 2 1 8
1 1 1 1 2 1 10
1 1 2 1 2 1 14
2 1 2 1 2 1 19
(1,2,3) 1 1 1 1 1 3 5
1 1 1 1 2 3 6
1 1 1 1 1 1 7
1 2 2 3 3 1 9
1 1 2 1 3 2 12
1 1 1 1 3 1 13
1 2 2 1 3 1 15
1 1 2 1 3 1 18
2 1 2 1 2 1 19
2 1 3 1 3 2 21
1 1 3 1 3 1 23
2 1 2 1 3 1 24
(1,2,3,4) 1 1 1 4 2 3 4
1 1 1 1 4 1 16
2 1 3 1 4 3 20
(1,2,3,4,5) 1 5 1 5 2 5 2
1 5 3 5 3 5 3
1 1 2 1 5 4 11
1 1 4 1 5 2 25
(1,2,3,4,5,6) 2 1 3 1 5 6 17
