E571. Un joli tour de cartes
Ce mois-ci, vous êtes invité à décrypter un joli tour de cartes.
Puce informe le public que Zig, pour le moment dans sa loge, va dans quelques instants réaliser un véritable tour de magie avec un jeu de 32 cartes.
Dans un premier temps, Puce convainc le public que les cartes ne sont ni biseautées ni truquées puis il décrit le déroulement du tour de cartes :
1) Le public choisira une carte (désignée par X) dont je prendrai connaissance.
2) Un premier volontaire dans la salle viendra mélanger les 32 cartes autant de fois qu’il le désire avant de les étaler sur une table en quatre rangées de huit cartes, faces invisibles.
3) Un deuxième volontaire choisira à sa convenance un nombre de cartes qu’il retournera faces visibles.
4) Je retournerai une seule carte qu’elle soit face visible ou face invisible.
5) Je quitterai la scène avant l’arrivée de Zig et j’irai au fond de la salle afin qu’on ne puisse pas me soupçonner de communiquer une quelconque information à mon partenaire.
6) Zig arrivera sur scène et au bout de quelques secondes annoncera à voix forte le nom de la carte X. S’il dit juste, vous êtes invités à l’applaudir chaleureusement.
Le scénario se déroule jusqu’au point 3) inclus comme annoncé par Puce et après le passage du deuxième volontaire, on a le tableau T1 suivant :
Conformément au point 4), Puce retourne le valet de coeur qui est au bout de la première rangée, ce qui donne le tableau T2 qui sera le seul tableau vu par Zig :
Zig arrive sur scène et comme prévu après quelques secondes de réflexion annonce que la carte X choisie par le public est la Dame de Coeur.
Applaudissements nourris...
Par quelle « alchimie » purement mathématique, Zig a-t-il pu identifier de manière certaine la carte choisie par le public ?
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Zig , avec la complicité de Puce vont s'entendre sur un codage. Avec le tableau suivant:
7 8 9 10 V D R A PIQUE ♠ 0 0 0 0 1
■
0 0 0 1 0
■ 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1
■ 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 COEUR ♥ 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
■
0 1 1 0 0
■ 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0♫
0 1 1 1 1■
1 0 0 0 0■
CARREAU♦ 1 0 0 0 1
■ 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1
■ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
■ 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 TREFLE ♣ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
■
1 1 1 0 1►
1 1 1 1 0
■ 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Dans le tableau ci-dessus , les cartes retournées sont affectées du ■
Avec un tel tableau , Zig devra retourner la carte codée : 11101 --> valet de trèfle(►) . Evidemment , si cette dernière
avait été déjà retournée par le second volontaire , alors Zig devra la retourner à nouveau . La carte choisie par le public est la dame de cœur : D♥ = 01110 (♫)
Lorsque Zig regarde le jeu , il procède ainsi:
a) il compte sur les lignes 3 & 4 les cartes retournées ; elles sont au nombre de 5 = 1 (mod 2) . Il commence alors à écrire 1 _ _ _ _ . ces 5 nombres sont affectés du 1 correspondant à 2^4 = 16
b) il compte sur les lignes 2 & 4 les cartes retournées ; elles sont au nombre de 6 = 0 (mod 2) . il écrit 1 0 _ _ _ . ces 6 nombres sont affectés du 1 correspondant à 2³ = 8
c) il compte sur les colonnes 4 , 5 , 6 & 7 les cartes retournées ; elles sont au nombre de 6 = 0 (mod 2) . il écrit 1 0 0 _ _ . ces 6 nombres sont affectés des 1 correspondant à 2² = 4 .
d) il compte sur les colonnes 2 , 3 , 6 & 7 les cartes retournées ; il y en a 5 = 1 (mod 2) . il écrit 1 0 0 1 _ . ces 5 nombres sont affectés des 1 correspondant à 2¹ = 2 .
e) il compte enfin sur les colonnes 1 , 3 , 5 & 7 les cartes retournées ; il y en a 7 = 1 (mod 2) il écrit enfin le nombre 1 0 0 1 1 . ces 7 derniers nombres sont affectés du bit 1 des unités.
Maintenant Zig doit s'assurer que Puce , en utilisant la même stratégie que lui , puisse écrire le nombre 01110 correspondant à la carte à deviner . Il va pour cela effectuer une opération booléenne (XOR, OU exclusif)
Il doit trouver le nombre tel que 1 0 0 1 1 XOR ■■■■■ = 0 1 1 1 0 .
Ce nombre est 1 1 1 0 1 correspondant au valet de trèfle V♣ (►sur le tableau codé).
Zig retourne alors cette carte , et lorsque Puce arrive avec une concentration maximum il va écrire dans sa tête
_ 0 ( 6 cartes retournées sur les lignes 3 & 4 , 6 = 0 (mod 2)) _ 0 1 ( 7 cartes retournées sur les lignes 2 & 4 )
_ 0 1 1 ( 7 cartes retournées sur les colonnes 4 , 5 , 6 & 7) _ 0 1 1 1 ( 5 cartes retournées sur les colonnes 2 , 3 , 6 & 7) _ 0 1 1 1 0 ( 8 cartes retournées sur les colonnes 1 , 3 , 5 & 7) Puce sait alors que 0 1 1 1 0 est le code secret de la dame de cœur .
Si par hasard aucune carte n'est retournée par le second volontaire ; ce qui peut se produire ;
dans ce cas Zig retourne la carte 0 1 1 1 0 (qui peut être une carte quelconque). De toute façon Puce sait que c'est l'emplacement de la dame de cœur. Tous les deux vont déjà moins se prendre la tête.
La seule carte retournée par le second volontaire est la 0 0 0 0 0 , dans ce cas l'opération correspondante est 0 0 0 0 0 XOR 0 1 1 1 0 = 0 1 1 1 0 ; et Zig retourne encore la carte 0 1 1 1 0 .
Ce sont les seuls cas où Zig doit retourner la carte 0 1 1 1 0 cherchée dont le code est celui de la dame de cœur .
