Enoncé A448 (Diophante) L’art de composer
Zig et Puce écrivent à tour de rôle en partant de la gauche les chiffres a, b, c, d, e, f d’un nombre entier n = abcdef avec a ≥ 1.
Les chiffres sont tous distincts. Zig est le vainqueur si n est un nombre composé. Qui a une stratégie gagnante ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Zig peut contraindre nà avoir un diviseur commun avec 30.
Si n (> 10) est premier, il est premier avec 10 et a pour chiffre f l’un des chiffres 1, 3, 7, 9. Zig va restreindre la possibilité que Puce les utilise pourf en les utilisant lui-même pouraetc, dans l’ordre de priorité 3, 9, 1, 7 (3 et 9 pourraient aussi être échangés, de même que 1 et 7).
Si Puce utilisait pour b ou d un des chiffres 1, 3, 7 ou 9, Zig prendrait le dernier disponible poure, obligeantnà être multiple de 2 ou 5.
Sinon, avec a= 3, c = 9, Zig choisit een sorte que b+d+e+ 1 soit multiple de 3. Alors nest multiple de 3 sif est 1 ou 7, nest multiple de 2 ou 5 pour tout autre choix def.
Remarque. Si Zig prenait l’ordre de priorité 1, 7, 3, 9, avec le perspective de choisireen sorte queb+d+e−1 soit multiple de 3, Puce mettrait cette stratégie en défaut en prenant 4 pour bou d, l’autre étant pris parmi 2, 5 ou 8. Alors Puce pourra obtenir n premier avec 30, Zig ne disposant pas pour e de chiffre multiple de 3 augmenté de 1.
Savoir si Puce aurait une stratégie gagnante (obtenantnpremier) quand Zig choisit pouraun chiffre autre que 3 ou 9 demande une étude plus approfondie que je n’ai pas faite.
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