E447. Seuils à ne pas dépasser
A partir de l’entier n = 2, à tour de rôle, Zig, qui joue le premier, puis Puce ajoutent au nombre précédemment affiché un diviseur de ce nombre qui lui est strictement inférieur.
Par exemple, on a la séquence 2, 3, 4, 6, 9, ... dans laquelle Zig a ajouté 1 au 1er tour et 2 au 3ème tour tandis que Puce a ajouté 1 au 2ème tour et 3 au 4ème tour.
Q1 Le premier qui fait dépasser le seuil de 21 perd. Qui a une stratégie gagnante ? Q2 Le premier qui fait dépasser le seuil de 50 perd. Qui a une stratégie gagnante ? Solution proposée par Claudio Baiocchi
Il s'agit d'un problème qui, du point de vue informatique, pose un joli défi de programmation.
Avec les seuils qui ont été fixés et notamment S = 50 dans Q₂, un petit programme permet de dire que Zig vaincra en laissant les valeurs suivantes à Puce : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 32, 35, 37, 39, 41, 44, 47, 50 sachant que de son côté, Puce ne peut pas forcer Zig à laisser des valeurs différentes.
Ce problème peut se résoudre "à la main", indépendamment de la puissance des instruments informatiques. Aucun ordinateur ne sera jamais en mesure de nous donner un renseignement du type : pour tout S > 4 Zig, jouant bien, peut gagner le match où S est la valeur du seuil à ne pas dépasser.
Pour montrer cette propriété on remarque d’abord qu’en fonction du seuil S, tout nombre N peut être qualifié comme de type G (gagnant) ou de type P (perdant) suivant que le joueur qui affiche N peut arriver à la victoire ou est destiné à perdre la partie.
Les premiers entiers affichés par Zig puis Puce sont nécessairement 3 puis 4. Puce vaincra si et seulement si l’entier affiché 4 est de type G; ce qui force le type P pour tout choix de Zig en réponse à 4. En particulier sont perdantes à la fois les affiches 5 et 6. Puisque 5 est de type P, Puce doit pouvoir répondre avec une affiche de type G; la seule réponse à 5 étant 6, la possibilité de victoire pour Puce nous a amenés à une contradiction: l’affiche 6 devrait être à la fois de type P et de type G.
Par ailleurs on pourrait supprimer la restriction sur la grandeur de la quantité qu’on doit rajouter à la dernière affiche. Si on se borne à imposer que cette quantité soit « un diviseur du dernier entier affiché y compris l’entier lui-même» Zig est toujours vainqueur quelle que soit la valeur du seuil.
En effet Zig peut choisir 3 ou 4 comme premier entier affiché.Si, pour un seuil donné, Puce pouvait gagner, 3 et 4 seraient de type P; en particulier à l’affiche 3 Puce ne pourrait pas répondre 4 (qui est perdant) et devra répondre 6; donc 6 est de type G, ce qui entraine que 7, 8, 9 et 12 sont de type P.D’où évidemment 14 qui est de type G (seule possibilité après 7) et 16 aussi (seule possibilité après 8). On obtient la contradiction: à 14 (gagnant) on peut faire suivre 16, qui est aussi gagnant…
Remarque : lorsque le seuil vaut 50 la stratégie correspondante à la nouvelle règle se borne à supprimer la valeur 25 de la liste des entiers gagnants.Toutefois, pour d’autres valeurs du seuil, on peut trouver des modifications au déroulement du match ; par exemple lorsque le seuil vaut 10, la stratégie initiale (3, 4, 5, 6, 7, 8, 10) devient (4, 6, 7, 8, 10) mais Puce peut aussi opter pour une défaite plus rapide (4, 5, 10).
Naturellement, comme toute démonstration par l’absurde, à savoir que Zig a une stratégie gagnante, notre démonstration ne donne aucun renseignement sur comment gagner.Le seul cas simple
correspond au cas où le seuil est impair. En fait on remarquera que tout entier impair affiché doit
être suivi par un entier qui (en tant que somme de deux nombres impairs) doit être un nombre pair.
Cet entier à son tour, peut être suivi par un nombre impair par exemple suivant la stratégie
« rajouter une unité ». En particulier Zig en choisissant 3 comme premier entier affiché, peut continuer avec des entiers impairs tant qu’il le veut.
C’est la stratégie gagnante dans le cadre de Q₁ (ainsi que dans tous cas où le seuil est un nombre impair): à un moment donné Puce devra choisir entre afficher 20 (et Zig gagnera en affichant 21) ou de perdre directement en affichant un nombre pair plus grand que 20.
Par exemple après 3, 4, 5, 6, 9, 12, 13, 14,15 Puce doit choisir entre 18 et 20, et dans les deux cas Zig gagne en affichant 21.
Pour ce qui concerne Q₂, ainsi que pour tous cas où le seuil est pair, la stratégie gagnante pour Zig est moins simple. La stratégie proposée au départ montre que si le seuil vaut 50 la première valeur impaire à éviter vaut 31; ce qui n’est pas du tout évident, et par ailleurs on a aussi vu que la variante sur la règle du jeu impose parfois à Zig de partir directement en affichant 4...
On va maintenant dégager une stratégie qui peut très bien être adaptée à la recherche aidée par ordinateur. A la classification des nombres (P pour perdant, G pour gagnant) on va rajouter une troisième catégorie, à savoir I pour inconnu : il s’agit des nombres pour lesquels (toujours à seuil S fixé) on n’a pas encore été en mesure de savoir classifier G ou P.
On va se borner au cas de seuil S=50, et sans la restriction sur la grandeur des diviseurs. Les nombres strictement plus grands que 50 sont de type P. L’entier 50 est l’unique nombre connu de type G; tous les autres sont pour le moment de type I.
Maintenant on cherche les parents de 50, à savoir les entiers qui peuvent être suivis par l’entier 50:
il s’agit des nombres (jusque-là de type I) 49, 48, 45, 40 et 25, nombres qui sont désormais classés de type P. D’où l’idée maîtresse pour classer les entiers : une fois qu’on a bien identifié les parents des nombres de type G, le plus grand N parmi les nombres qui sont encore de type I est en fait un nombre de type G.
Dans le cas de Q₂,l’entier 47 est de type G. 46, son unique parent, est de type P. D’où 44 de type G.
et les perdants 43, 42, 40, 33 et 22. Puis c’est 41 qui devient gagnant (son unique parent 40 est déjà répertorié de type P) donc 39 de type G qui fait déclarer perdants 38, 36 et 26; et ainsi de suite, en obtenant comme éléments gagnants :3, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 32, 35, 37, 39, 41, 44, 47, 50 à savoir la suite déjà vue privée de la valeur 25 (qui permettrait d’afficher directement 50)
