E447 – Seuils à ne pas franchir [*** à la main]
A partir de l’entier n = 2, à tour de rôle, Zig, qui joue le premier, puis Puce ajoutent au nombre précédemment affiché un diviseur de ce nombre qui lui est strictement inférieur.
Par exemple, on a la séquence 2,3,4,6,9,... dans laquelle Zig a ajouté 1 au 1er tour et 2 au 3ème tour tandis que Puce a ajouté 1 au 2ème tour et 3 au 4ème tour.
Q₁ Le premier qui fait dépasser le seuil de 50 perd. Qui a une stratégie gagnante ? Q₂ Le premier qui fait dépasser le seuil de 21 perd. Qui a une stratégie gagnante ? Solution proposée par Daniel Collignon
Notons G/P une situation gagnante/perdante pour celui qui la reçoit.
Ainsi la situation correspondant au seuil à ne pas dépasser est P.
Toute position conduisant à une situation P est alors G.
Une situation n est P si n+d est G, pour tout d < n divisant n.
Seuil 21 :
21P => 20G, 18G, 14G 20G => 19P
18G => 17P => 16G
16G, 18G, 20G => 15P => 14G, 12G, 10G 14G => 13P
12G => 11P
12G, 10G => 9P => 8G, 6G 8G => 7P
6G => 5P => 4G => 3P => 2G
Ainsi Zig gagne en laissant une situation impaire à Puce (c'est toujours possible a minima avec pair + 1), qui ne peut donner qu'une situation paire (impair + impair) à Zig
Seuil 50 :
50P => 49G, 48G, 45G, 40G 48G => 47P => 46G
48G, 46G, 45G => 44P => 43G, 42G, 33G 42G => 41P
42G, 40G => 39P => 38G, 36G, 26G 38G => 37P
42G, 40G, 36G => 35P => 34G, 30G, 28G 48G, 40G, 36G, 34G, 33G => 32P => 31G, 24G 30G => 29P
36G, 30G, 28G => 27P
30G, 26G => 25P => 20G => 19P => 18G => 17P => 16G 24G => 23P => 22G
28G, 24G, 22G => 21P => 14G => 13P => 12G => 11P 20G, 18G, 16G => 15P => 10G
12G, 10G => 9P => 8G, 6G 8G => 7P
6G => 5P => 4G => 3P => 2G
Ainsi Zig gagne d'abord en amenant Puce à 21, puis sur les positions perdantes 23, 32, 35, 39, 44, 47 et 50
21, 22, 23, 24
21, 24, 32, 33/34/36/40/48, 44/35/39/50/50 21, 28, 35, 36/40/42, 39/50/44
35, 36/40/42, 39/50/44 39, 40/42, 50/44 44, 45/46/48, 50/47/50 47, 48, 50
