Pour 16n610 on obtient: n A1(n A1(n A1(n le tableau est rempli colonne par colonne par les entiers successifs sauf que l’on remplacen+ 1 par 1 s’il apparait en colonnen)

EX G227

1. A partir deA1(1, i) = 1 on peut calculerA1(n, i) `a l’aide des relations:

A1(n,1) = 1 +A1(n−1,3) A1(n,2) = 1 + (A1(n,1) mod n) A1(n,3) = 1 + (A1(n,2) mod n).

Pour 16n610 on obtient:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A₁(n,1) 1 2 3 3 2 5 2 5 8 2 A₁(n,2) 1 1 1 4 3 6 3 6 9 3 A1(n,3) 1 2 2 1 4 1 4 7 1 4 (le tableau est rempli colonne par colonne par les entiers successifs sauf que l’on remplacen+ 1 par 1 s’il apparait en colonnen).

Si on s’int´eresse `a la position des 1 dans la suite des ´elus, on montre que siA1(n, i) = 1 (n>2 eti=2 ou 3):

• pourn= 2k, le 1 suivant estA₁(n+k, i)

• pourn= 2k+1 , le 1 suivant estA1(n+k,3) sii= 2 ,A1(n+k+1,2) sii= 3.

Pour calculerA₁(n,1) on recherche le plus petitn₀>ntel queA₁(n₀, i) = 1 ,i=2 ou 3; on calcule alorsA1(n,1) =n0−3(n0−n)−(i−2) ; on obtient A1(n,2) etA1(n,3) en ajoutant 1 au reste modulon. On obtient `a la main les A1(2006, i): (623,624,625). On obtient instantan´ement avec un pro- gramme sur calculatrice lesA1(123456789, i): (63883092,63883093,63883094).

2. A partir deB₁(1, i) = 1 on peut calculerB₁(n, i) `a l’aide des relations:

B₁(n,1) = 1 + (B₁(n,3) mod n) B₁(n,2) = 1 +B₁(n−1,1) B1(n,3) = 1 +B1(n−1,2).

Pour 16n610 on obtient:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B1(n,1) 1 1 1 4 4 1 7 4 1 7 B1(n,2) 1 2 2 2 5 5 2 8 5 2 B1(n,3) 1 2 3 3 3 6 6 3 9 6 On montre que sin= 3^koun= 2×3^k alorsB₁(n,3) =netB₁(n,1) = 1.

On en d´eduit:

• pournimpair tel que 3^k−1< n63^k: B1(n,3) = (3n−3^k)/2

• pournpair tel que 2×3^k−1< n62×3^k: B1(n,3) = (3n−2×3^k)/2 B₁(n,1) s’en d´eduit. On calcule B₁(n,2) = B₁(n + 1,3)−1 par le mˆeme algorithme appliqu´e `an+ 1. On obtient `a la main lesB₁(2006, i):

(823,1916,822). On obtient instantan´ement avec un programme sur cal- culatrice lesB₁(123456789, i): (120615103,56045021,120615102).

3. A2(n,2) = 1 et A2(n,3) = {1,2}. On calcule A2(n,1) par A2(1,1) = 1 et la relation de r´ecurrence: A2(n,1) =₃

2A2(₂

3n ,1)

. On obtient les premi`eres valeurs: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A2(n,1) 1 2 3 3 5 5 5 8 8 8

1

Soit la suite d´efinie par u0 = 1 et un+1 = ₃

2un

(suite A61419 de l’encyclop´edie des suites). On montre par r´ecurrence que siup6n < up+1

alorsA2(n,1) =up. Par exemple,A2(2006,1) = 1598.

4. B2(n,1) = 1. On calcule B2(n,2) par B2(1,2) = 1 et la relation de r´ecurrence: B₂(n,2) = 3B₂(_n+1

3

,2) −1. On obtient les premi`eres

valeurs: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B2(n,2) 1 2 2 2 5 5 5 5 5 5

Soit la suite d´efinie par v_n = ³ⁿ₂⁺¹. On montre par r´ecurrence que si vp6n < vp+1 alorsB2(n,2) =vp. Par exemple,B2(2006,2) = 1094.

On calculeB2(n,3) parB2(1,3) = 1 et la relation de r´ecurrence:B2(n,3) = 3B2(n

3

,3) (pourn>3).

On obtient les valeurs: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B2(n,3) 1 2 3 3 3 6 6 6 9 9 Soit la suite d´efinie par w_2n = 3ⁿ et w_2n+1 = 2×3ⁿ. On montre par r´ecurrence que si w_p 6 n < w_p+1 alors B₂(n,3) = w_p. Par exemple, B₂(2006,3) = 1458.

5. Par comparaison des r´esultats pour les A₁, A₂, B₁, B₂ on obtient pour 16i63 : B1(1458, i) =B2(2006, i) soit les valeurs (1,1094,1458).

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