Prenant en compte le terme central qui est multiple de 1006, on sait déjà que la grande somme est multiple de 1006

A535. Petite somme divise grande somme

Q1 : Démontrer que la somme des entiers naturels consécutifs de 1 à 2011 divise la somme des puissances d’ordre 2011 de ces mêmes entiers.

Q2 : Démontrer que pour k entier impair positif et pour tout n entier naturel positif, la somme des entiers consécutifs de 1 à n divise la somme des puissances d’ordre k de ces mêmes entiers.

Solution :

Q1 La somme des entiers naturels consécutifs de 1 à 2011 est 2011*2012/2 = 2011*1006.

Dans la grande somme associons 2 par 2 les termes équidistants des extrêmes, le terme central , 1006 ²⁰¹¹ restant isolé.

Une identité valable pour k impair : (a^k + b^k ) = (a+b)( a^k-1 - a ^k-2 b + a ^{k -3}b² - .. + b^k ) montre que, pour chaque paire (1006 – i )²⁰¹¹ ,(1006 + i )²⁰¹¹ la somme est multiple de (a + b ) = 2012. Prenant en compte le terme central qui est multiple de 1006, on sait déjà que la grande somme est multiple de 1006.

Dans la grande somme associons 2 par 2 les termes tels que a²⁰¹¹ et ( 2011-a)²⁰¹¹ .le dernier terme 2011²⁰¹¹ restant isolé. Modulo 2011 on a : a²⁰¹¹ + ( 2011-a )²⁰¹¹ = a²⁰¹¹ + ( -a)²⁰¹¹ = 0 car l'exposant 2011 est impair.

Prenant aussi en compte le dernier terme, on sait maintenant que la grande somme est multiple de 2011.

1006 et 2011 sont premiers entre eux donc leur produit divise la grande somme.

Q2 Même raisonnement : si k est impair, soit k = 2p + 1, la petite somme est ( 2p + 1 )( p + 1 ).

Le terme central de la grande somme est ( p + 1 )^{2p + 1} et chaque somme ( p + 1 – i )^{2p + 1} +( p + 1 + i)^{2p + 1} de 2 termes équidistants des extrêmes est multiple de 2p + 2 . Prenant en compte le terme central qui est multiple de p + 1, on sait déjà que la grande somme est multiple de p + 1.

Dans la grande somme associons 2 par 2 les termes tels que a^2p+1 et ( 2p + 1 -a)^2p+1 ,le dernier terme ( 2p + 1 )^2p+1 restant isolé.

Modulo 2p + 1 on a a^2p+1 + ( 2p + 1 -a )^2p+1 = a^2p+1 + ( -a)^2p+1 = 0 . Prenant aussi en compte le dernier terme ( 2p + 1 )^2p+1 , on sait maintenant que la grande somme est multiple de 2p + 1.

Le PGCD de ( 2p + 1 ) et ( p + 1 ) est aussi celui de p et p+1 , c'est 1.

Donc le produit ( 2p + 1 )( p + 1 ) divise la grande somme