D20403. Somme invariante
Démontrer que pour tout entiern≥4 il existe un polygone dencôtés dont les longueurs ne sont pas toutes égales tel que la somme des distances de tout point intérieur à ce polygone à chacun de ses côtés est constante. Discuter le cas du triangle.
Solution
Si l’on donne au point intérieur un déplacement élémentaired, la somme des distances varie dePd.ui, somme des produits scalaires du déplacement avec les vecteurs unitairesui des normales aux ncôtés, orientées vers l’intérieur du polygone, ou équivalemmentd.(Pui), le produit scalaire étant distributif par rapport à l’addition des vecteurs.
La propriété d’invariance exige que la somme vectorielle desui, orthogonale à tout déplacementd, soit le vecteur nul. Une façon de l’obtenir est de prendre un polygone à côtés parallèles à ceux du polygone régulier àncôtés. Sinest pair, on peut aussi prendre des ui deux à deux opposés. Quitte à déplacer certains côtés parallèlement à eux-mêmes, on évite que tous les côtés soient de même longueur, sin >3.
Sin= 3, les 3 vecteurs unitaires de somme nulle forment un triangle équi- latéral ; le polygone est lui-même un triangle équilatéral, et ses côtés sont nécessairement de même longueur, ce qui empêche de satisfaire l’énoncé.
