D207. Le bosquet de séquoias
Problème proposé par Raymond Bloch Dans ce grand parc poussent depuis des siècles:
1) des séquoias géants (Sequoiadendron giganteum) plantés aux sommets A,B,C,D,.... d'un polygone (P) régulier de n côtés. Les sommets A,C et D sont tels que la plus grande hauteur du triangle ACD est égale à la somme des deux autres hauteurs.
2) des séquoias à feuille d'if (Sequoia sempervirens) qui occupent des sommets de
polygones PA,PB,PC ....homothétiques au polygone P. Sur chacun de ces polygones on trouve deux séquîoas géants et n ‒ 2 séquoias à feuille d'if.
La figure ci-dessus fait apparaître pour chacun des polygones PA,PB,PC ....quatre sommets sur les n sommets, à savoir les sommets A,a1,a2,B du polygone PA, puis les sommets B, b1,b2,C du polygone PB enfin les sommets C,c1,c2,D, du polygone PC .Le même motif alterné se répète jusqu'au
polygone passant par le n-ième séquoia géant et par le sommet A.
Q Déterminer le nombre n de séquoias géants et le nombre de séquoias à feuille d'if.₁
Q Démontrer les trois relations 1/AB = 1/AC + 1/AD , Aa₂ 2 + AB = AC et Aa1 + Aa2 + AB = AD.
Nota: la figure n'est pas exacte car elle ne respecte pas les proportions.
Q1) Les calculs sont faits avec (P) inscrit dans un cercle de rayon 1. A, B, C, D sont les images des nombres complexes 1, exp(2iΠ/n), exp(4iΠ/n), exp(6iΠ/n).
Les équations des droites CD, AC, AD sont : CD : x cos 5Π/n + y sin 5Π/n – cos Π/n = 0 AC : x cos 2Π/n + y sin 2Π/n – cos 2Π/n = 0 AD : x cos 3Π/n + y sin 3Π/n – cos 3Π/n = 0
Distance de A à la droite CD : cos Π/n – cos 5Π/n
Distance de D à la droite AC : abs( cos 6Π/n cos 2Π/n + sin 6Π/n sin 2Π/n – cos 2Π/n )
= cos 2Π/n – cos 4Π/n
Distance de C à la droite AD : abs( cos 4Π/n cos 3Π/n + sin 4Π/n sin 3Π/n – cos 3Π/n )
= cos Π/n – cos 3Π/n Les 3 hauteurs du triangle ACD doivent vérifier :
cos Π/n – cos 5Π/n = (cos 2Π/n – cos 4Π/n) + (cos Π/n – cos 3Π/n)
cos 2Π/n + cos 5Π/n = cos 4Π/n + cos 3Π/n Transformons les sommes en produits : 2 cos 7Π/(2n) cos 3Π/(2n) = 2 cos 7Π/(2n) cos Π/(2n)
2 cos 7Π/(2n) [cos 3Π/(2n) – cos Π/(2n)] = 2 cos 7Π/(2n)[–2sin Π/n sin 2Π/n]
Pour n>1 le dernier crochet n'est pas nul, la seule solution est n = 7.
Le bosquet comprend 7 séquoïas géants.
Pour le décompte des séquoïas à feuille d'if, je totalise les 11 qui sont intérieurs à l'heptagone ABCDEFG et les 18 qui sont à l'extérieur. ( 18 parce que 4*3+3*2 = 18 ).
je trouve donc 29 séquoïas à feuille d'if.
Q2) Dans le triangle ACD, les hauteurs vérifient hA = hC + hD. Si S est la surface du triangle, on a hA = 2S/CD, hC = 2S/AD, hD = 2S/AC d'où 1/CD = 1/AD +1/AC.
Mais CD = AB donc 1/AB = 1/AC + 1/AD.
Pour des notations plus concises je pose u = Π/7
Le rapport d'homothétie P→PA est égal à BC/AD =sin u/ sin 3u AC = 2 sin 2u , Aa2 = AC.sin u/ sin 3u . AB = 2sin u,
La transformation 2 sin x sin y = cos(x-y) – cos( x+y) sera plusieurs fois utilisée :
Aa2 + AB – AC = 2 sin 2u[ (sin(u))
(sin(3u)) – 1 ] + 2sin u = (cos(u)−cos(3u))
(sin(3u)) – 2sin 2u + 2 sin u
= {cos u – cos 3u – cos u + cos 5u + cos 2u – cos 4u } / sin 3u
= {(cos 2u + cos 5u) – (cos 3u + cos 4u)} / sin 3u = 0 parce que 2u+5u = Π et 3u+4u = Π Donc Aa2 + AB – AC = 0
Aa1 + Aa2 = (AB+AC). (sin(u))
(sin(3u)) = (2 sin u + 2 sin 2u) (sin(u)) (sin(3u))
Aa1 + Aa2 + AB – AD = {1 – cos 2u + cos u – cos 3u}/ sin 3u + 2 sin u – 2 sin 3u
= {1 – cos 2u + cos u – cos 3u + cos 2u – cos 4u + cos 6u – 1} / sin 3u
= {(cos u + cos 6u) – (cos 3u + cos 4u) }/ sin 3u = 0 parce que u+6u = Π et 3u+4u = Π Donc Aa1 + Aa2 + AB – AD = 0
