D207. Le bosquet de séquoias
D2. Géométrie plane : autres problèmes
Problème proposé par Raymond Bloch
Dans ce grand parc poussent depuis des siècles:
1) des séquoias géants (Sequoiadendron giganteum) plantés aux sommets A,B,C,D,.... d'un polygone (P) régulier de n côtés. Les sommets A,C et D sont tels que la plus grande hauteur du triangle ACD est égale à la somme des deux autres hauteurs.
2) des séquoias à feuille d'if (Sequoia sempervirens) qui occupent des sommets de polygones PA,PB,PC ....homothétiques au polygone P. Sur chacun de ces polygones on trouve deux séquîoas géants et n ‒ 2 séquoias à feuille d'if.
La figure ci-dessus fait apparaître pour chacun des polygones PA,PB,PC ....quatre sommets sur les n sommets, à savoir les sommets A,a1,a2,B du polygone PA, puis les sommets B, b1,b2,C du polygone PB enfin les sommets C,c1,c2,D, du polygone PC.Le même motif alterné se répète jusqu'au polygone passant par le n-ième séquoia géant et par le sommet A.
Q₁ Déterminer le nombre n de séquoias géants et le nombre de séquoias à feuille d'if.
Q₂ Démontrer les trois relations 1/AB = 1/AC + 1/AD , Aa2 + AB = AC et Aa1 + Aa2 + AB = AD.
Nota: la figure n'est pas exacte car elle ne respecte pas les proportions.
Solution proposée par Jean Nicot
Q1- Soit O le centre du cercle circonscrit à (P), de rayon R, et S la surface du triangle ACD.
CD=2R sin(/n) AC=2R sin(2/n) AD=2R sin(3/n)
S= surfaces (DOC +COA-AOD) =1/2R²( sin(2/n) + sin(4/n) - sin(6/n) ) et les hauteurs sont hA=2S/CD hC=2S/AD hD=2S/AC. La condition sur les hauteurs impose 1/CD=1/AD + 1/AC soit 1/sin(/n) =1/sin(2/n)+ 1/sin(3/n) , condition qui est vérifiée pour n=7 puisque
sin(/n) sin(3/n)= sin(2/n)[ sin(3/n)- sin(/n)]= sin(2/n)[2 cos(2/n) sin(/n)]= sin(/n) sin(4/n) et alors sin(3/n)= sin(4/n) amène à 3/n+4/n= soit n=7.
Il y a donc 7 sequoias géants. Les 7 petits polygones comportent chacun 5 petits séquoias mais certains appartiennent à deux polygones. De plus, le motif initial ne se reforme pas exactement sur le grand polygone. Il y a donc 29 séquoias à feuille d’if dont seulement 6 appartiennent à deux petits polygones.
Q2- La relation 1/AB= 1/AC + 1/AD découle de la condition sur les hauteurs.
En notant r le rayon du cercle circonscrit au petit polygone, on a AB=2R sin(/7) =2r sin(3/7) ou r=R sin(/7)/ sin(3/7)
Aa2= 2r sin(2/7)= 2R sin(2/7) . sin(/7) / sin(3/7) = 2R sin(2/7) . sin(/7)[ 1/sin(/7)- 1/sin(2/7)]
Aa2= 2R (sin(2/7)- sin(/7) ) soit Aa2 + AB = AC
Aa1+Aa2+AB = 2R [sin(/7)/ sin(3/7)] *[ sin(/7)+ sin(2/7)+ sin3(/7)] =
[R/ sin(3/7)]*[1- cos(2/7)+ cos(2/7)- cos(4/7)+ cos(/7)- cos(3/7)) = [R/ sin(3/7)]*[1+ cos(/7)]=
[R/ sin(3/7)]*[1- cos(6/7)] = [R/ sin(3/7)]*[2 sin²(3/7)] = 2R sin(3/7) = AD Aa1+Aa2+AB=AD
